> 大問の番号と小問の番号(1)が重なってしまいます。

基本的には無理な注文です。

> \enumLmargin{0.1zw}が影響しているからだとは
> 思うのですが，

そのとおりです。
こんな注文を出した以上結果はごらんのとおりです。

> 回避できる方法はあるでしょうか？

あえて回避するなら、下のようなことでしょうか。
でもねぇ〜

% --- re3212.tex ---------------------
\documentclass[b5j,fleqn]{jarticle}
\usepackage{emath}
\usepackage{emathAe}
\begin{document}
\enumLmargin{0.1zw}
\openKaiFile
\begin{enumerate}[\protect\Large\expandafter\fbox 1]
\item 次の問いに答えよ。
%\kaitou{\setKaienum{edaenumerate}}%
\kaitou{\setKaienum{edaenumerate}
    \edef\Kaienumopt{<apnenum={\itemindent=2zw},retusuu=2>}}%
  \begin{enumerate}[(1)]
    \item ああああ
      \kaitou{こたえあ}
    \item いいいい
      \kaitou{こたえい}
  \end{enumerate}
\end{enumerate}
\closeKaiFile
\textbf{【解答】}
\inputKaiFile
\end{document}

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