\documentclass[a4j]{jarticle}
\usepackage{emathPk}
\usepackage{emathPs}
\usepackage{showProg}

\begin{document}
サッカーボールを描画したマクロの解題です。

まずは，正二十面体の描画から。

\begin{showProg}(1,.6667){正二十面体}{list}
\Rdef(1,3)\Ex%    x軸正方向の単位ベクトル
\Rdef(.2,135)\Ey% y軸正方向の単位ベクトル
\Rdef(1,90)\Ez%   z軸正方向の単位ベクトル
\begin{psZahyou*}[debug,ul=20mm,Ex=\Ex,Ey=\Ey,Ez=\Ez](-1.8,1.8)(-1.7,1.7)(-2,2)
  \calcval{sqrt(5+sqrt(5))/(sqrt(2))}\R
  \calcval{1/(sin($pi/5))}\r
  \calcval{sqrt((\R)*(\R)-(\r)*(\r))}\h
  \iiitenretu{[1]Ai(0,0,\R)n;[2]Aii(\r,0,\h)e}
  \iiitenretu{[12]Axii(0,0,-\R)s;[7]Avii(-\r,0,-\h)w}
  \zRotvec\Aii{72}\Aiii
  \iiiPut\Aiii[s]{3}
  \zRotvec\Aiii{72}\Aiv\iiiPut\Aiv[w]{4}
  \zRotvec\Aiv{72}\Av\iiiPut\Av[n]{5}
  \zRotvec\Av{72}\Avi\iiiPut\Avi[n]{6}
  \zRotvec\Avii{72}\Aviii\iiiPut\Aviii[sw]{8}
  \zRotvec\Aviii{72}\Aix\iiiPut\Aix[se]{9}
  \zRotvec\Aix{72}\Ax\iiiPut\Ax[s]{10}
  \zRotvec\Ax{72}\Axi\iiiPut\Axi[s]{11}
  \iiiDrawline{\Aiv\Av\Avi\Aii}
  \iiiDrawline{\Avii\Aviii\Aix}
  \iiiDrawlines{\Ai\Aii;\Ai\Aiv;\Ai\Av;\Ai\Avi}
  \iiiDrawlines{\Axii\Avii;\Axii\Aviii;\Axii\Aix}
  \iiiDrawlines{\Aiv\Avii\Av;\Av\Aviii\Avi;\Avi\Aix\Aii}
  \setdash{.05,.05}
  \iiiDrawline{\Aii\Aiii\Aiv}
  \iiiDrawline{\Aix\Ax\Axi\Avii}
  \iiiDrawlines{\Aii\Ax\Aiii;\Aiii\Axi\Aiv}
  \iiiDrawlines{\Ai\Aiii;\Axii\Ax;\Axii\Axi}
\end{psZahyou*}
\end{showProg}

正二十面体を構成する20個の正三角形の一辺を$a=2$とすれば，
外接球の半径は
\begin{jquote}
\begin{verbatim}
5:  \calcval{sqrt(5+sqrt(5))/(sqrt(2))}\R
\end{verbatim}
\end{jquote}
と求められます
（蛇足ながら，これを求める問題が 2001, 山形大学で出題されています）。
この外接球の中心を座標原点とし，正二十面体の頂点1が，$z$軸上にあるとすれば，
\begin{jquote}
\begin{verbatim}
8:  \iiitenretu{[1]Ai(0,0,\R)n;....
\end{verbatim}
\end{jquote}
と定まります。

次に，頂点1と隣り合う5個の頂点2, 3, 4, 5, 6が作る正五角形の外接円の半径は
\begin{jquote}
\begin{verbatim}
6:  \calcval{1/(sin($pi/5))}\r
\end{verbatim}
\end{jquote}
となります。以下，この正五角形を$D$と名付けます。
原点から正五角形$D$に下ろした垂線の長さは
\begin{jquote}
\begin{verbatim}
7:  \calcval{sqrt((\R)*(\R)-(\r)*(\r))}\h
\end{verbatim}
\end{jquote}
となりますから，正五角形の頂点のひとつ，頂点2が$xz$平面上にあるとすると
\begin{jquote}
\begin{verbatim}
8:  \iiitenretu{....;[2]Aii(\r,0,\h)e}
\end{verbatim}
\end{jquote}
正五角形$D$の残りの頂点は，頂点2を，$z$軸を回転軸として$72\Deg$ずつ回転することで
求められます：
\begin{jquote}
\begin{verbatim}
10:  \zRotvec\Aii{72}\Aiii

11:  \zRotvec\Aiii{72}\Aiv...
12:  \zRotvec\Aiv{72}\Av...
13:  \zRotvec\Av{72}\Avi...
\end{verbatim}
\end{jquote}

ここまでで，半分の頂点が求まりました。
図形が原点対称ですから，残りの頂点は簡単に求められます。

あとは，辺を実線または破線で結べば出来上がりです。
\end{document}

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