> 解答で浮き出るところのマス目まで消えてしまいます。

これは，描画順序の問題です。
お示しのリストでは，
　　格子（マス目）描画
　　答えの四角形描画
の順ですが，

> \usepackage[maskAnstrue]{emathAe}

のモードでは，答えの四角形は\color{white}で描画されますから，
マス目と四角形の辺の交点は消えます。

対策は描画順序を入れ替えることです。
ただし，Kaitou環境の冒頭で
【解答】
という文字列が出力されますが，
　　zahyou環境内で裸の文字列出力
はご法度です。
  zahyou環境内では，
    \def\KaitouTTL{\relax}
として，【解答】文字列の出力を停止しておく必要があります。

修正リストです。

% --- re4196.tex --------------------------------------------
\documentclass[fleqn,a4j]{jarticle}
\usepackage{calc}%
\usepackage{ruby}%
\usepackage{emathPp}%
\usepackage{emathOld}%
\usepackage{amsmath,emath,emathP,emathE,emathW,epic,itembbox,hako}
\usepackage[maskAnstrue]{emathAe}
%\usepackage[maskAnsfalse]{emathAe}


\pagestyle{empty}
\setlength{\topmargin}{-2cm}
\setlength{\oddsidemargin}{-1cm}
\setlength{\textwidth}{160mm}
\setlength{\textheight}{300mm}

\begin{document}
~~{\large 下の図形の２倍の拡大図をかきなさい。\\ただし，解答用紙に書くこと。\vspace{4mm}\\}



\begin{zahyou*}[ul=5mm,xscale=1,yscale=1](1,3)(0,8)
%\Put\O{\kousi{17}{9}}% 格子描画は最後に回す。
\def\A{(1,5)}
\def\D{(5,4)}
\def\B{(2,2)}
\def\C{(4,1)}
\thicklines
\Drawline{\A\B\C\D\A}
%
\def\KaitouTTL{\relax}% zahyou環境内では，文字列【解答】の出力をしない。
\begin{Kaitou}
%                       zahyou環境内では空き行を出力してはいけない。
\def\E{(6,8)}
\def\F{(8,2)}
\def\G{(12,0)}
\def\H{(14,6)}
\thicklines
\Drawline{\E\F\G\H\E}
%                       zahyou環境内では空き行を出力してはいけない。
\end{Kaitou}
\Put\O{\kousi{17}{9}}% 格子描画は Kaitou環境の後に
\end{zahyou*}
\end{document}

▼関連発言
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└◆4196:zahyou環境内でのKaitou [kimu] 01/10 22:24
　├◆4197:--- [---] 01/10 22:48
　├◆4198:Re:zahyou環境内でのKaitou [tDB] 01/10 22:50
　│└◆4200:　　別法 [tDB] 01/11 10:57
　└◆4206:Re:zahyou環境内でのKaitou（解決） [kimu] 01/12 20:54<-last