発言者: 少しだけemath
発言日: 2007 09/04 17:53
発言元: 202.11.101.49
皆様、お世話になっております。大変基本的な問題だと思うのですが、
下記のソースで最後の
\begin{align}と\end{align}を生かすと、エラーが発生します。
何度見直してもなぜエラーが出るのかわかりません。よろしくお願いします。
書きかけの長いソースで申し訳ありません。
また、エラーログですが、コピーできない状態ですので
載せていません。
%--------renbunsuu.tex--------------
\documentclass[12pt,fleqn]{jsarticle}
\setlength{\topmargin}{40pt}
\iftombow
\addtolength{\topmargin}{-1in}
\else
\addtolength{\topmargin}{-1truein}
\fi
\setlength{\textheight}{43\baselineskip}
\addtolength{\textheight}{\topskip}
\usepackage{okumacro}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{emathP}
\usepackage[debug]{emathPs}
\usepackage{emathEy}
\usepackage{emathMw}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\def\therefore{%
\setlength{\unitlength}{1pt}%
\thinlines %
\begin{picture}(12,12)%
\put(0, 0){.}
\put(5, 8){.}
\put(10,0){.}
\end{picture}%
\hspace{1zw}
}%
\begin{center}
\LARGE 平方根の連分数展開
\end{center}
\begin{enumerate}
\item 有理数はなぜ測りきれるのか
下の長方形をできるだけ大きい正方形で敷き詰めてください。
\begin{zahyou*}[ul=1mm](0,60)(0,25)
\def\A{(0,21)}
\def\B{(0,0)}
\def\C{(56,0)}
\def\D{(56,21)}
\Drawline{\A\B\C\D\A}
\HenKo[20]<henkoH=5mm>\A\B{21}
\HenKo[40]<henkoH=5mm>\B\C{56}
\end{zahyou*}
\vspace{2zw}
この問題は最大公約数を互除法を使って求める問題ですが、
下記のようになります。
\begin{zahyou*}[ul=1mm](0,60)(0,25)
\def\A{(0,21)}
\def\B{(0,0)}
\def\C{(56,0)}
\def\D{(56,21)}
\Drawline{\A\B\C\D\A}
\def\E{(21,0)}
\def\F{(21,21)}
\Drawline{\E\F}
\def\G{(42,0)}
\def\H{(42,21)}
\Drawline{\G\H}
\def\I{(42,7)}
\def\J{(56,7)}
\Drawline{\I\J}
\def\K{(49,0)}
\def\L{(49,7)}
\Drawline{\K\L}
\HenKo[20]<henkoH=5mm>\A\B{21}
\HenKo[20]<henkoH=5mm>\B\E{21}
\HenKo[20]<henkoH=5mm>\E\G{21}
\HenKo[10]\D\H{14}
\HenKo[10]\J\D{14}
\HenKo[10]\C\J{7}
\HenKo[10]\G\K{7}
\HenKo[10]\K\C{7}
\end{zahyou*}
\vspace{2zw}
もとの長方形から正方形を切り取っていき、あまりがなくなったときの
正方形が一番大きい正方形であり、その1辺の長さ(この場合7)が
21と56の最大公約数になります。
さて、この期除法を連分数で表すと
\begin{align}
\bunsuu{56}{21}&=2+\bunsuu{14}{21}\notag\\
&=2+\bunsuu{1}{\bunsuu{21}{14}}\notag\\
&=2+\bunsuu{1}{1+\bunsuu{7}{14}}\notag\\
&=2+\bunsuu{1}{1+\bunsuu{1}{\bunsuu{14}{7}}}\notag\\
&=2+\bunsuu{1}{1+\bunsuu{1}{2}}\notag
\end{align}
となります。任意の2つの有理数には必ず最小公倍数がありますから、
任意の有理数は上のように有限回の連分数で表すことができます。
\newpage
\item $\sqrt{2}$はなぜ測りきれないのか。
\setlength{\mawarikomisep}{2zw}
\begin{mawarikomi}[15]{100pt}{
\begin{zahyou*}[ul=5mm](0,10)(0,-10)
\tenretu{A(0,0)w;B(0,-10)w;C(10,-10)e;D(10,0)e}
\def\A{(0,0)}
\def\B{(0,-10)}
\def\C{(10,-10)}
\def\D{(10,0)}
\Drawline{\A\B\C\D\A\C}
\Enko<hasen=[.2][.2]>\A{10}{270}{360}
\kTyokusen\A{-67.5}{0}[y]{-10}
\kyokuTyoku(10,-45)\E
\ennoSessen\A\E\m
\mTyokusen\E\m[y]{-7.071}[y]{-10}
\kandk\A{292.5}\B{0}\F
\Put\E[n]{E}
\Put\F[s]{F}
\Taisyouten\E\B\C\G
\Drawline{\F\G\C}
\Put\G[s]{G}
\touhenkigou<2>{\B\F;\F\E;\E\C}
\HenKo[20]\C\E{b}
\end{zahyou*}}
1辺が1の正方形ABCDにおいて、$\kaku{BAC}$を二等分する直線と
BCとの交点をFとする。AFを対象の軸としてBの対象点をEとすると、
$AE=1$で$EC=b$があまる。
次に余った$b$でもとの単位1を測る。ところで、折り線AFの対称性から
$BF=EF$、$\kaku{FEC}=90\Deg$であり、$\kaku{ECF}=45\Deg$
であるから、三角形FECは直角二等辺三角形になり、$BF=FE=EC=b$
が成り立つ。$BC=1$を$b$で測ると$BF=b$であるからFCが余る。
さらにFCをEC($=b)$で測るが、四角形EFGCは正方形であり、
ECとFCの関係は1辺と斜辺の関係になる。従って、先ほどと同じになり、
余りが出る。
これを繰り返すから、この互除法は無限に続く。従って$\sqrt{2}$は
測りきることができない。
\end{mawarikomi}
\item 平方根を連分数で表す。
有理数は有限回の連分数で表すことができる。無理数にも互除法は使えるが、
無限に続くので無限連分数になるだろう。ためにし$\sqrt{2}$を連分数で表してみた。
$\sqrt{2}$を小数で表すと整数部は1になる。小数部を$\bunsuu{1}{a}$とすると、
\begin{align}
&\sqrt{2}=1+\bunsuu{1}{a} \label{eq:1} \\
&\sqrt{2}-1=\bunsuu{1}{a}\notag\\
a&=\bunsuu{1}{\sqrt{2}-1}\notag\\
&=\bunsuu{\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}\notag\\
&=\sqrt{2} + 1\notag\\
&=2 + \bunsuu{1}{a}\notag\\
&\therefore
\bunsuu{1}{a}=\bunsuu{1}{2+\bunsuu{1}{a}} \label{eq:2}\\\notag
&\intertext{\eqref{eq:1}を\eqref{eq:2}に代入すると}\notag\\\notag
\end{align}
\newpage
\begin{align}
\sqrt{2}& =1+\bunsuu{1}{a}\notag\\
&=1+\bunsuu{1}{2+\bunsuu{1}{a}}\notag\\
&=1+\bunsuu{1}{2+\bunsuu{1}{2+\bunsuu{1}{a}}}\notag\\
&=1+\bunsuu{1}{2+\bunsuu{1}{2+\bunsuu{1}{2+\bunsuu{1}{2+}}}}\notag
\end{align}
\hspace{17zw} \dots \dots \dots \dots
となる。これを$\sqrt{2}=1+ \gauss{\kenten{2}}$
と表す。とてもきれいに展開できた。
これはひょっとしてと思い、$\sqrt{3}$もやってみた。
\begin{align}
&\sqrt{3}=1+\bunsuu{1}{a}\label{eq:3}\\
&\sqrt{3}-1=\bunsuu{1}{a}\notag\\
a&=\bunsuu{1}{\sqrt{3}-1}\notag\\
&=\bunsuu{\sqrt{3}+1}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}\notag\\
&=\bunsuu{\sqrt{3}+1}{2}\notag\\
&=\bunsuu{1+\bunsuu{1}{a}+1}{2}\notag\\
&=1+\bunsuu{1}{2a}\notag\\
&\therefore
\bunsuu{1}{a}=\bunsuu{1}{1+\bunsuu{1}{2a}}\label{eq:4}
&\intertext{また、}\notag
\bunsuu{1}{2a} &= \bunsuu{1}{2(1+\bunsuu{1}{2})}\notag\\
&=\bunsuu{1}{2+\bunsuu{1}{a}}\label{eq:5}\\
\notag
\end{align}
\newpage
%\begin{align)
%&\intertext{\eqref{eq:3}に\eqref{eq:4},\eqref{eq:5}を代入すると}\notag
%\sqrt{3} &= 1+\bunsuu{1}{a}\notag\\
%&=1+\bunsuu{1}{1+\bunsuu{1}{2a}}\notag\\
%&=1 + \bunsuu{1}{\bunsuu{1}{2+\bunsuu{1}{a}}}\notag\\
%&=1 + \bunsuu{1}{1+\bunsuu{1}{2+\bunsuu{1}{1+\bunsuu{1}{2+}}}
%\end{align}
\end{enumerate}
\end{document}
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