発言者: SYOW
発言日: 2010 02/11 15:45
発言元: ntsitm416021.sitm.nt.ftth.ppp.infoweb.ne.jp
早速のコメントをありがとうございます。
また,先ほど書き忘れていましたが,いつもemathにはお世話になっています。
\input{}でsectionごとにファイルをインポートしながら作成しているので,
当該のsectionのファイルを丸々記載させていただきます。
関連するか分かりませんが,スタイルファイルは奥村氏のjsbookを使用しています。
rei環境はitembox環境を置き換えたもので,
独自のカウンタで設定している番号を付記させるために作った環境です。
また,sageenumerate環境はedaenumerate環境を置き換えたもので,
左インデントの設定をやり直したものです。
よろしくお願いします。
##### ここからsubsection{整関数の定積分}
\Opensolutionfile{ans}[ans112] %answer.styのコマンド
\subsection{整関数の定積分}\label{seikansuu}
では,例えば次のような図形の面積を考えてみよう。
\vspace{3truemm}
\begin{rei}
\begin{mawarikomi}(30pt,0){130pt}
{\unitlength5mm
\thicklines
\begin{zahyou}(-1,6)(-1,8)
\def\Fx{1,2}
\def\Gx{0,0}
\Nurii[.5]\Fx\Gx{1}{5}
\Gurafu\Fx\xmin\xmax
\drawline(1,3)(1,0)
\drawline(5,7)(5,0)
\Put{(1,0)}(-0.5pt,-6pt){\small{$1$}}
\Put{(5,0)}[s]{\small{$5$}}
\Put{(6,8)}(-27pt,0pt)[w]{\small{$y=x+2$}}
\end{zahyou}
}
4直線$y=x+2$,$x$軸,$x=1$,$x=5$によって囲まれる部分の面積を求めよ。
\vspace{32truemm}
\end{mawarikomi}
\end{rei}
\begin{tyuukai}
問題問題問題問題問題問題問題問題問題問題問題
問題問題問題問題問題問題問題問題問題問題問題
問題問題問題問題問題問題問題問題問題問題問題
問題問題問題問題問題問題問題問題問題問題問題
問題問題問題問題問題問題問題問題問題問題問題
問題問題問題問題問題問題問題問題問題問題問題
問題問題問題問題問題問題問題問題問題問題問題
問題問題問題問題問題問題問題問題問題問題問題
問題問題問題問題問題問題問題問題問題問題問題
問題問題問題問題問題問題問題問題問題問題問題
問題問題問題問題問題問題問題問題問題問題問題
\tyuu{注釈注釈注釈注釈注釈注釈注釈注釈注釈}
問題問題問題問題問題問題問題問題問題問題問題
問題問題問題問題問題問題問題問題問題問題問題
問題問題問題問題問題問題問題問題問題問題問題
問題問題問題問題問題問題問題問題問題問題問題
問題問題問題問題問題問題問題問題問題問題問題
問題問題問題問題問題問題問題問題問題問題問題
問題問題問題問題問題問題問題問題問題問題問題
\end{tyuukai}
\begin{itembox}[l]{\textbf{\fbox{公式}~整関数の定積分}}
$n$を正の整数とすると,
\[\mathgg{\displaystyle\int^\alpha_\beta x^n\,dx=\left[\rule{0mm}{5mm}\bunsuu{1}{n+1}x^{n+1}\right]^\alpha_\beta
=\bunsuu{1}{n+1}\alpha^{n+1}-\bunsuu{1}{n+1}\beta^{n+1}}\]
特に
\[\mathgg{\displaystyle\int^\alpha_\beta \,dx=\int^\alpha_\beta 1\,dx=\int^\alpha_\beta x^0\,dx=\left[\rule{0mm}{5mm}~x~\right]^\alpha_\beta
=\alpha-\beta}\]
\end{itembox}
実は,$n$が正の整数のときだけでなく,任意の有理数全体について成り立つことがよく知られている
(その積分計算についてはこの章の\textbf{指数の拡張}で学ぶが,証明は本書では扱わない)。
\begin{itembox}[l]{\textbf{\fbox{公式}~定積分の基本性質}}
$k$を実数とすると,
\begin{align*}
&\mathgg{\displaystyle\int^\alpha_\beta kf(x)\,dx=k\int^\alpha_\beta f(x)\,dx}\\
&\mathgg{\displaystyle\int^\alpha_\beta \left\{ f(x)\pm g(x)\right\}\,dx=\int^\alpha_\beta f(x)\,dx\pm\int^\alpha_\beta g(x)\,dx}
\end{align*}
\end{itembox}
この基本性質により,多項式で表された整関数の定積分を計算することができる。
\newpage
\begin{rei} %\itemtopmath\hangindent2zw
\begin{align*}
\int^2_1(x^2-2x+3)\,dx
&=\int^2_1x^2\,dx-2\int^2_1x\,dx+3\int^2_1\,dx\\
&=\left[\rule{0mm}{5mm}\bunsuu{1}{2+1}x^{2+1}\right]^2_1-2\left[\rule{0mm}{5mm}\bunsuu{1}{1+1}x^{1+1}\right]^2_1+3\left[\rule{0mm}{5mm}~x~\right]^2_1 \\
&=\left[\rule{0mm}{5mm}\bunsuu{1}{3}x^3\right]^2_1-2\left[\rule{0mm}{5mm}\bunsuu{1}{2}x^2\right]^2_1+3\left[\rule{0mm}{5mm}~x~\right]^2_1 \\
&=\left(\bunsuu{1}{3}\cdot2^3-\bunsuu{1}{3}\cdot1^3\right)-2\left(\bunsuu{1}{2}\cdot2^2-\bunsuu{1}{2}\cdot1^2\right)+3(2-1)\\
&=\bunsuu{7}{3}\qed
\end{align*}
厳密に基本性質を適用すると上記のような計算過程になるが,通常,以下のようにひっくるめて記述する。
\begin{align*}
\int^2_1(x^2-2x+3)\,dx
&=\left[\rule{0mm}{5mm}\bunsuu{1}{2+1}x^{2+1}-2\cdot\bunsuu{1}{1+1}x^{1+1}+3x\right]^2_1 \\
&=\left[\rule{0mm}{5mm}\bunsuu{1}{3}x^3-x^2+3x\right]^2_1\\
&=\left(\bunsuu{1}{3}\cdot2^3-2^2+3\cdot 2\right)-\left(\bunsuu{1}{3}\cdot1^3-1^2+3\cdot 1\right)\\
&=\bunsuu{7}{3}\qed
\end{align*}
\end{rei}
\hangindent0zw
\begin{mondai} 次の定積分を計算しなさい。
\begin{sageenumerate}
\item $\displaystyle\int^{4}_{1}-4\, dx$ \kaitou{$-12$}
\item $\displaystyle\int^{3}_{0}2x\, dx$ \kaitou{$9$}
\item $\displaystyle\int^{2}_{-1}3x^2\, dx$ \kaitou{$9$}
\item $\displaystyle\int^{2}_{-1}(5x+4)\, dx$ \kaitou{$\protect\bunsuu{39}{2}$}
\item $\displaystyle\int^{2}_{-1}(x^3-2x^2+5x+4)\, dx$ \kaitou{$\protect\bunsuu{69}{4}$}
\item $\displaystyle\int^{2}_{1}(x+1)^2\, dx$ \kaitou{$\protect\bunsuu{19}{3}$}
\item $\displaystyle\int^{3}_{-2}(x+2)(x-3)\, dx$ \kaitou{$-\protect\bunsuu{125}{6}$}
\item $\displaystyle\int^{2}_{-\frac{3}{2}}(2x+3)(x-2)\, dx$ \kaitou{$-\protect\bunsuu{343}{24}$}
\item $\displaystyle\int^{1}_{-1}(2x-3)^3\, dx$ \kaitou{$-78$}
\item $\displaystyle\int^{2}_{-2}(3x+2)(9x^2-6x+4)\, dx$ \kaitou{$32$}
\item $\displaystyle\int^{1}_{-1}x(x+1)(x-1)\, dx$ \kaitou{$0$}
\item $\displaystyle\int^{1}_{-1}x(x+1)(x+2)(x+3)\, dx$ \kaitou{$\protect\bunsuu{116}{15}$}
\end{sageenumerate}
\end{mondai}
{\footnotesize{\textbf{Point}~~(6)以降は,展開してから積分する。(11)(12)は展開する順番に留意。}}
\Closesolutionfile{ans}
▼関連発言
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└◆8599:emathAt.styの利用でコンパイルが巧くいきません [SYOW] 02/11 14:50
└◆8600:Re:emathAt.styの利用でコンパイルが巧くいきません [tDB] 02/11 15:24
└◆8601:Re[2]:emathAt.styの利用でコンパイルが巧くいきません [SYOW] 02/11 15:45
└◆8602:Re[3]:emathAt.styの利用でコンパイルが巧くいきません [tDB] 02/11 15:59
├◆8603:Re[4]:emathAt.styの利用でコンパイルが巧くいきません [SYOW] 02/11 16:02
│└◆8605:Re[5]:emathAt.styの利用でコンパイルが巧くいきませ... [tDB] 02/11 16:11
└◆8604:Re[4]:emathAt.styの利用でコンパイルが巧くいきません [SYOW] 02/11 16:07
└◆8606:Re[5]:emathAt.styの利用でコンパイルが巧くいきませ... [tDB] 02/11 16:12
└◆8607:Re[6]:emathAt.styの利用でコンパイルが巧くいきま... [SYOW] 02/11 16:15
└◆8608:Re[7]:emathAt.styの利用でコンパイルが巧くいき... [tDB] 02/11 17:21
└◆8609:Re[8]:emathAt.styの利用でコンパイルが巧くい... [SYOW] 02/11 17:32<-last