> 1997年東工大(前期)に、...
> が出題されています。

> 解決策ではないですが、少し参考にはなるでしょうか。

貴重な情報ありがとうございました。
1. の作図は初等幾何の範囲で頭を悩ませていたところ、同僚からアシストを得ました。

2. および 3. についてはさすがに計算が必要になりそうです。

%% 755.tex
\documentclass[a4j,fleqn]{jarticle}
\usepackage[notMy,papersize]{emathP}
\usepackage[remake]{emathPs}%
\setlength\parindent{0mm}
\setlength\mathindent{10mm}
\pagestyle{empty}

\begin{document}
\caprm%
\small%
\begin{zahyou*}[ul=8mm](-5,10)(-1,8)%
\def\A{(3,7)}%
\def\B{(0,0)}%
\def\C{(10,0)}%
\Subvec\C\B\BC%
\Mulvec{0.55}\BC\BP%
\Addvec\B\BP\P%
%\Bunten\B\C{5}{2}\P%
\Kaiten\P\C{60}\D%
\Kaiten\P\A{60}\E%
\LandL\A\B\D\E\F%
\Kaiten\P\F{-60}\Dummy%
\LandL\C\A\P\Dummy\G%
\Kyori\P\C\PC%
\Kyori\P\A\PA%
\Enko<hamidasikaku=8>\P\PC{hazimeten=\D}{owariten=\D}%
\Put\hazimeT[e]{\maru{1}}%
\Enko<hamidasikaku=8>\C\PC{hazimeten=\D}{owariten=\D}%
\Put\hazimeT{\maru{2}}%
\Enko<hamidasikaku=8>\A\PA{hazimeten=\E}{owariten=\E}%
\Put\hazimeT[n]{\maru{3}}%
\Enko<hamidasikaku=8>\P\PA{hazimeten=\E}{owariten=\E}%
\Put\hazimeT[n]{\maru{4}}%
\hamidasisenbun\E\D{0.1}{0.2}%
\Put\migiT{\maru{5}}%
\Kakukigou[r]\G\P\F<3>[n]{$60\Deg$}
\hamidasisenbun\P\G{0}{0.3}%
\Put\migiT{\maru{6}}%
\Takakkei<linethickness=1pt>{\A\B\C}%
%\emPaint*{\P\C\G}%
%\emPaint*{\P\D\F}%
{\color{red}%
\Takakkei<linethickness=2pt>{\P\C\D}%
}%
{\color{blue}%
\Takakkei<linethickness=2pt>{\P\A\E}%
}%
\Drawlines<linethickness=2pt>{\P\F;\P\G}%
\tenretu**{A[n]}%
\tenretu**{B[sw]}%
\tenretu**{C[se]}%
\tenretu**{D[n]}%
\tenretu**{E[w]}%
\tenretu**{F[nw]}%
\tenretu**{G[ne]}%
\tenretu**{P[s]}%
\end{zahyou*}%

\textbf{作図手順}
\begin{jquote}(3zw)%
\begin{enumerate}[\bf{}step 1.]%
\item %
辺 BC~上の点 P について、正三角形 PCD~を作図する。$\left(\retu{\maru{1},\maru{2}}\right)$

\item %
同様に正三角形 PAE~を図の方向に作図する。$\left(\retu{\maru{3},\maru{4}}\right)$

\item %
直線 DE~と辺 AB~との交点を F~とする。$\left(\maru{5}\right)$

\item %
P~を中心に 直線 PF~を時計回りに $60\Deg$~回転させたものと、辺 CA~との交点を G~とする。$\left(\maru{6}\right)$

\end{enumerate}%
\end{jquote}%

このとき三角形 PGF~は正三角形になる。

\bigskip%
\textbf{証明} 
\begin{jquote}(3zw)%
\sankaku{PCA}~と \sankaku{PDE}~について
\begin{align*}%
PC&=PD&\text{（仮定）}\\
PA&=PE&\text{（仮定）}\\
\kaku{APC}&=\kaku{CPD}+\kaku{DPA}\\
&=60\Deg+\kaku{DPA}\\
&=\kaku{EPA}+\kaku{DPA}\\
&=\kaku{EPD}
\end{align*}%
二辺挟角相等から $\sankaku{PCA}\equiv\sankaku{PDE}$ が成り立ち $\kaku{PCA}=\kaku{PDE}$ である。

\medskip%
次に \sankaku{PCG}~と\sankaku{PDF}~について
\begin{align*}%
\kaku{CPG}&=\kaku{CPD}+\kaku{DPG}\\
&=60\Deg+\kaku{DPG}\\
&=\kaku{DPF}
\end{align*}%
二角挟辺相等から $\sankaku{PCG}\equiv\sankaku{PDF}$ が成り立ち $PG=PF$ である。

\medskip%
\hfill{}三角形 PGF~は、頂角が $60\Deg$~の二等辺三角形すなわち正三角形になる。
\end{jquote}%
\end{document}

▼関連発言
│
└◆755:三角形の内部に正三角形を作る [田中徹] 08/30 22:56
　└◆756:Re:三角形の内部に正三角形を作る [st] 08/31 00:21
　　└◆757:Re[2]:三角形の内部に正三角形を作る [田中徹] 08/31 16:43<-last