▼スレッド
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└◇124:三角形の面積(感動の押しつけ) [田中徹] 10/31 12:13
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124● 三角形の面積(感動の押しつけ)[ 田中徹 ] 2006 10/31 12:13
今年度は 2年生を担当しております。
模擬試験の過去問題の研究をしていたら
思わず美しい結果にブチあたり
この感動を皆様に...(アドレナリンが..)
私は前半部で満足していたのですが
後半部の式変形は同僚(年上)がスラスラと変形し
少しショックでした。
(曰く高校時代はこんな式変形ばかりしていたそうです)
もし、どこかで既出でしたら
書籍名などお知らせいただければ幸いです。
\documentclass[b5j,fleqn]{jarticle}
\usepackage[papersize]{emathP}
\usepackage{emathMw}
\usepackage{itembbox}
\pagestyle{empty}
\setlength{\paperwidth}{182mm}
\setlength{\paperheight}{257mm}
\setlength{\textwidth}{\paperwidth}
\addtolength{\textwidth}{-22mm}
\setlength{\textheight}{\paperheight}
\addtolength{\textheight}{-30mm}
\setlength{\leftmargin}{0mm}
\setlength{\oddsidemargin}{-12mm}
\setlength{\topmargin}{-10mm}
\setlength{\headsep}{0mm}
\setlength{\parindent}{0zw}
\abovedisplayskip=0mm
\belowdisplayskip=0mm
%%%%%%%%%%%%% Local macro %%%%%%%%%%%%%%
\def\Dfrac#1#2{\displaystyle{\frac{\raisebox{-1mm}{$\,#1\,$}}{\raisebox{1mm}{$\,#2\,$}}}}
\def\Par#1{\left(#1\right)}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\caprm%
\begin{itemtbsquarebox}<l>[r]{\textbf{問題}}{{\small{}進研模試 {2004}年度 11月 }\textbf{改}}%
鋭角三角形 $ABC$ の面積を $\mathit{S}$ とする。%
この三角形の各頂点から対辺に下ろした%
垂線の足を頂点とする三角形の面積を $\mathit{S}$ を用いて表せ。
\end{itemtbsquarebox}%
\noindent{}【解】
\begin{mawarikomi}{}%
{
\begin{zahyou*}[ul=8mm,Yohaku=4mm](0,6)(0,4){}%
\def\A{(0,0)}%
\def\B{(6,0)}%
\def\C{(2,4)}%
\Put\A[w]{A}%
\Put\B[e]{B}%
\Put\C[n]{C}%
\Takakkei{\A\B\C}%
\Suisen\A\B\C\Ha%
\Suisen\B\C\A\Hb%
\Suisen\C\A\B\Hc%
\Hasen{\A\Ha}%
\Hasen{\B\Hb}%
\Hasen{\C\Hc}%
\Put\Ha[ne]{$H_{1}$}%
\Put\Hb[nw]{$H_{2}$}%
\Put\Hc[s]{$H_{3}$}%
{%
\Thicklines%
\Takakkei{\Ha\Hb\Hc}%
}%
\end{zahyou*}%
}
\begin{align*}{}%
\text{まず、}\sankaku{$AH_{3}H_{2}$}&=\mathit{S}\times{}\Dfrac{AH_{3}}{AB}\times{}\Dfrac{AH_{2}}{AC}\\
&=\mathit{S}\times{}\Dfrac{AC\,\cos{\mathit{A}}}{AB}\times{}\Dfrac{AB\,\cos{\mathit{A}}}{AC}\\
&=\mathit{S}\,\cos^{2}{\mathit{A}}\\[0.5\baselineskip]
\text{同様に}\sankaku{$BH_{1}H_{3}$}&=\mathit{S}\,\cos^{2}{\mathit{B}}\\
\sankaku{$CH_{2}H_{1}$}&=\mathit{S}\,\cos^{2}{\mathit{C}}\\[0.5\baselineskip]
\text{したがって}\sankaku{$H_{1}H_{2}H_{3}$}&=%
\sankaku{ABC}-\Par{\sankaku{$AH_{3}H_{2}$}+\sankaku{$BH_{1}H_{3}$}+\sankaku{$CH_{2}H_{1}$}}\\
&=\bm{\Big\{\,1-\Par{\,\cos^{2}{\mathit{A}}+\cos^{2}{\mathit{B}}+\cos^{2}{\mathit{C}}\,}\Big\}\mathit{S}}
\end{align*}%
\end{mawarikomi}%
ここで次の結果を得る。
\begin{squarebox}{}%
\kaku{A}, \kaku{B}, \kaku{C} が鋭角で $\kaku{A}+\kaku{B}+\kaku{C}=180\Deg$ のとき
\caprm[o]%
\qquad
$\cos^{2}{A}+\cos^{2}{B}+\cos^{2}{C}<1$
\end{squarebox}%
\caprm[o]%
代数的に
\begin{align*}{}%
\cos^{2}{A}+\cos^{2}{B}+\cos^{2}{C}&=%
\Dfrac{1+\cos{2A}}{2}+\Dfrac{1+\cos{2B}}{2}+\Dfrac{1+\cos{2C}}{2}\\
&=\Dfrac{3}{2}+\Dfrac{1}{2}\Big\{2\cos{\Par{A+B}}\cos{\Par{A-B}}+\cos{2\Par{180\Deg-\Par{A+B}}}\Big\}\\
&=\Dfrac{3}{2}+\Dfrac{1}{2}\Big\{2\cos{\Par{A+B}}\cos{\Par{A-B}}+\cos{2\Par{A+B}}\Big\}\\
&=\Dfrac{3}{2}+\Dfrac{1}{2}\Big\{2\cos{\Par{A+B}}\cos{\Par{A-B}}+2\cos^{2}{\Par{A+B}}-1\Big\}\\
&=1+\Dfrac{1}{2}\Big\{2\cos{\Par{A+B}}\cos{\Par{A-B}}+2\cos^{2}{\Par{A+B}}\Big\}\\
&=1+\Dfrac{1}{2}\Big\{2\cos{\Par{A+B}}\big\{\cos{\Par{A-B}}+\cos{\Par{A+B}}\big\}\Big\}\\
&=1+\Dfrac{1}{2}\Big\{2\cos{\Par{A+B}}\big\{2\cos{A}\cos{B}\big\}\Big\}\\
&=1+2\cos{\Par{A+B}}\cos{A}\cos{B}\\[0.5\baselineskip]
&=\bm{1-2\cos{A}\cos{B}\cos{C}}
\end{align*}%
改めて\Kakko{驚くべき$!$}次の結果が得られた。
\begin{squarebox}{}%
$
\caprm%
\sankaku{$H_{1}H_{2}H_{3}=\sankaku{$ABC$}\times{}\caprm[o]\relax{}2\cos{A}\cos{B}\cos{C}$}
$
\end{squarebox}%
\end{document}
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125● 垂足三角形[ tDB ] 2006 10/31 20:36
垂足三角形という言葉はいろいろな意味に用いられているようですが,
ここでは
三角形の3頂点から対辺に下ろした垂線の足3点から構成される三角形
という狭義の意味で用います。
% --- re124.tex ----------------------------------------------
\documentclass{jarticle}
\usepackage{emathPh}
\usepackage{emathThmbx}
\boxedtheorem<frame=itemshadebox>{teiri}{定理}
\boxedtheorem<frameoption=[l]>{hodai}{補題}
\begin{document}
九点円を前提とします。
\begin{center}
%
% 九点円
%
\small
\begin{zahyou*}[ul=15mm](0,4)(0,2.4)
\tenretu{A(2.5,2.4)n;B(0,0)w;C(4,0)e}% 三角形の頂点の座標
\Bunten\B\C11\L% 各辺の中点
\Bunten\C\A11\M
\Bunten\A\B11\N
\Suisen\A\B\C\P% 垂線の足
\Suisen\B\C\A\Q
\Suisen\C\A\B\R
\LandL\B\Q\C\R\H% 垂心
\Bunten\A\H11\D% H と各頂点の中点
\Bunten\B\H11\E
\Bunten\C\H11\F
\Put\H(5pt,-1pt)[l]{H}% 各点のラベル
\Put\P(0,-2pt)[t]{P}%
\Put\L(0,-2pt)[t]{L}%
\Put\R(0,2pt)[rb]{R}%
\Put\N(0,2pt)[rb]{N}%
\Put\Q(0,2pt)[lb]{Q}%
\Put\M(0,2pt)[lb]{M}%
\Put\D(0,1pt)[lb]{D}%
\Put\E(0,0)[rb]{E }%
\Put\F(2pt,1pt)[l]{F}%
\Gaisetuen\L\M\N% 九点円
\Drawlines{\A\P;\B\Q;\C\R}% 点を結ぶ
\Takakkei{\A\B\C}% 三角形描画
\kuromaru{\L;\M;\N;\P;\Q;\R;\D;\E;\F}% 九点に黒丸
\end{zahyou*}
\end{center}
\begin{hodai}
垂足三角形の一辺の長さについては
\[ \mathrm{QR}=a\cos A \]
が成り立つ。
\end{hodai}
と
\begin{hodai}
九点円の半径は，\sankaku{ABC}の外接円の半径の$\bunsuu12$である。
\end{hodai}
から
\begin{teiri}<tuikamidasi=【垂足三角形の面積】>
\sankaku{ABC}の垂足三角形\sankaku{PQR}の面積は
\[ \sankaku{PQR}=2S\cos A\cos B\cos C \]
である。ただし，$S$は\sankaku{ABC}の面積である。
\end{teiri}
\noindent
が導かれる。
\end{document}
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126● Re:垂足三角形[ 田中徹 ] 2006 10/31 23:01
オォッ emath サイト表紙を飾る九点円ではないですか。
個人的には私が高校2年当時、添削問題で証明できなかったという
苦い思い出が頭をよぎったりします。
あっさりこのような回答を示されるとは...
自分なりに補題等を証明してみました。
本当にありがとうございました。
\documentclass[b5j,fleqn]{jarticle}
\usepackage[papersize]{emathP}
\pagestyle{empty}
\setlength{\paperwidth}{182mm}
\setlength{\paperheight}{257mm}
\setlength{\textwidth}{\paperwidth}
\addtolength{\textwidth}{-22mm}
\setlength{\textheight}{\paperheight}
\addtolength{\textheight}{-30mm}
\setlength{\leftmargin}{0mm}
\setlength{\oddsidemargin}{-12mm}
\setlength{\topmargin}{-10mm}
\setlength{\headsep}{0mm}
\setlength{\parindent}{0zw}
\setlength{\columnsep}{12mm}
\setlength{\columnseprule}{0.1mm}
\setlength{\mathindent}{0mm}
\abovedisplayskip=0mm
\belowdisplayskip=0mm
%%%%%%%%%%%%% Local macro %%%%%%%%%%%%%%
\def\Dfrac#1#2{\displaystyle{\frac{\raisebox{-1mm}{$\,#1\,$}}{\raisebox{1mm}{$\,#2\,$}}}}
\def\Par#1{\left(#1\right)}
\def\Kakko#1{\inhibitglue（{#1}）\inhibitglue}%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
【補題1 の証明】\Kakko{代数的で恐縮です}
\begin{jquote}(2zw){}%
\caprm[o]
余弦定理から
\begin{align*}{}%
\mathrm{QR}^{2}&=\mathrm{AR}^{2}+\mathrm{AQ}^{2}-2\mathrm{AR}\cdot\mathrm{AQ}\cos{A}\\
&={\Par{b\cos{A}}}^{2}+{\Par{c\cos{A}}}^{2}-2\Par{b\cos{A}}\Par{c\cos{A}}\cos{A}\\
&=\{b^{2}+c^{2}-2bc\cos{A}\}\cos^{2}{A}\\
&=a^{2}\cos^{2}{A}\\
\mathrm{QR}&=a\EMabs{\cos{A}}
\end{align*}%
\end{jquote}%
【補題2 の証明】
\begin{jquote}(2zw){}%
$\bekutoru{HD}=\Dfrac{1}{2}\bekutoru{HA}$,\quad
$\bekutoru{HE}=\Dfrac{1}{2}\bekutoru{HB}$,\quad
$\bekutoru{HF}=\Dfrac{1}{2}\bekutoru{HC}$ から
$\bekutoru{DE}=\Dfrac{1}{2}\bekutoru{AB}$,\quad
$\bekutoru{EF}=\Dfrac{1}{2}\bekutoru{BC}$,\quad
$\bekutoru{FD}=\Dfrac{1}{2}\bekutoru{CA}$ となり
\sankaku{ABC}\souzi\sankaku{DEF} であり相似比は $2\,:\,1$ .
したがって 2つの三角形に外接する円の半径も $2\,:\,1$ になる。
\end{jquote}%
【定理1 の証明】
\begin{jquote}(2zw){}%
\vspace*{-2\baselineskip}
\begin{align*}{}%
\sankaku{PQR}&=\Dfrac{\mathrm{QR}\cdot\mathrm{RP}\cdot\mathrm{PQ}}{4\cdot\Kakko{\sankaku{PQR}の外接円の半径}}\\
&=\Dfrac{a\cos{A}\cdot{}b\cos{B}\cdot{}c\cos{C}}{4\cdot\Dfrac{1}{2}\Kakko{\sankaku{ABC}の外接円の半径}}\\
&=\Dfrac{abc}{4\cdot\Kakko{\sankaku{ABC}の外接円の半径}}\cdot{}2\cos{A}\cos{B}\cos{C}\\
&=2\times\sankaku{ABC}\times\cos{A}\cos{B}\cos{C}
\end{align*}%
\end{jquote}%
\end{document}
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127● Re:垂足三角形[ tDB ] 2006 11/01 09:46
鋭角三角形
という前提を付けておくべきでした。(^^ゞ
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