▼スレッド
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└◇125:垂足三角形 [tDB] 10/31 20:36

　├◇126:Re:垂足三角形 [田中徹] 10/31 23:01
　└◇127:Re:垂足三角形 [tDB] 11/01 09:46<-last

垂足三角形という言葉はいろいろな意味に用いられているようですが,
ここでは
    三角形の3頂点から対辺に下ろした垂線の足3点から構成される三角形
という狭義の意味で用います。

% --- re124.tex ----------------------------------------------
\documentclass{jarticle}
\usepackage{emathPh}
\usepackage{emathThmbx}

\boxedtheorem<frame=itemshadebox>{teiri}{定理}
\boxedtheorem<frameoption=[l]>{hodai}{補題}

\begin{document}
九点円を前提とします。
\begin{center}
%
% 九点円
%
\small
\begin{zahyou*}[ul=15mm](0,4)(0,2.4)
\tenretu{A(2.5,2.4)n;B(0,0)w;C(4,0)e}%  三角形の頂点の座標
\Bunten\B\C11\L%                    各辺の中点
\Bunten\C\A11\M
\Bunten\A\B11\N
\Suisen\A\B\C\P%                    垂線の足
\Suisen\B\C\A\Q
\Suisen\C\A\B\R
\LandL\B\Q\C\R\H%                   垂心
\Bunten\A\H11\D%                    H と各頂点の中点
\Bunten\B\H11\E
\Bunten\C\H11\F
\Put\H(5pt,-1pt)[l]{H}%             各点のラベル
\Put\P(0,-2pt)[t]{P}%
\Put\L(0,-2pt)[t]{L}%
\Put\R(0,2pt)[rb]{R}%
\Put\N(0,2pt)[rb]{N}%
\Put\Q(0,2pt)[lb]{Q}%
\Put\M(0,2pt)[lb]{M}%
\Put\D(0,1pt)[lb]{D}%
\Put\E(0,0)[rb]{E }%
\Put\F(2pt,1pt)[l]{F}%
\Gaisetuen\L\M\N%                      九点円
\Drawlines{\A\P;\B\Q;\C\R}%            点を結ぶ
\Takakkei{\A\B\C}%                     三角形描画
\kuromaru{\L;\M;\N;\P;\Q;\R;\D;\E;\F}% 九点に黒丸
\end{zahyou*}
\end{center}
\begin{hodai}
垂足三角形の一辺の長さについては
\[ \mathrm{QR}=a\cos A \]
が成り立つ。
\end{hodai}
と
\begin{hodai}
九点円の半径は，\sankaku{ABC}の外接円の半径の$\bunsuu12$である。
\end{hodai}
から
\begin{teiri}<tuikamidasi=【垂足三角形の面積】>
\sankaku{ABC}の垂足三角形\sankaku{PQR}の面積は
\[ \sankaku{PQR}=2S\cos A\cos B\cos C \]
である。ただし，$S$は\sankaku{ABC}の面積である。
\end{teiri}

\noindent
が導かれる。
\end{document}

オォッ emath サイト表紙を飾る九点円ではないですか。

個人的には私が高校2年当時、添削問題で証明できなかったという
苦い思い出が頭をよぎったりします。

あっさりこのような回答を示されるとは...

自分なりに補題等を証明してみました。

本当にありがとうございました。

\documentclass[b5j,fleqn]{jarticle}

\usepackage[papersize]{emathP}

\pagestyle{empty}

\setlength{\paperwidth}{182mm}
\setlength{\paperheight}{257mm}
\setlength{\textwidth}{\paperwidth}
\addtolength{\textwidth}{-22mm}
\setlength{\textheight}{\paperheight}
\addtolength{\textheight}{-30mm}

\setlength{\leftmargin}{0mm}
\setlength{\oddsidemargin}{-12mm}
\setlength{\topmargin}{-10mm}
\setlength{\headsep}{0mm}
\setlength{\parindent}{0zw}
\setlength{\columnsep}{12mm}
\setlength{\columnseprule}{0.1mm}
\setlength{\mathindent}{0mm}

\abovedisplayskip=0mm
\belowdisplayskip=0mm

%%%%%%%%%%%%% Local macro %%%%%%%%%%%%%%
\def\Dfrac#1#2{\displaystyle{\frac{\raisebox{-1mm}{$\,#1\,$}}{\raisebox{1mm}{$\,#2\,$}}}} 
\def\Par#1{\left(#1\right)}
\def\Kakko#1{\inhibitglue（{#1}）\inhibitglue}%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{document}
【補題1 の証明】\Kakko{代数的で恐縮です}
\begin{jquote}(2zw){}%
\caprm[o]
余弦定理から
\begin{align*}{}%
\mathrm{QR}^{2}&=\mathrm{AR}^{2}+\mathrm{AQ}^{2}-2\mathrm{AR}\cdot\mathrm{AQ}\cos{A}\\
&={\Par{b\cos{A}}}^{2}+{\Par{c\cos{A}}}^{2}-2\Par{b\cos{A}}\Par{c\cos{A}}\cos{A}\\
&=\{b^{2}+c^{2}-2bc\cos{A}\}\cos^{2}{A}\\
&=a^{2}\cos^{2}{A}\\
\mathrm{QR}&=a\EMabs{\cos{A}}
\end{align*}%
\end{jquote}%

【補題2 の証明】
\begin{jquote}(2zw){}%
$\bekutoru{HD}=\Dfrac{1}{2}\bekutoru{HA}$,\quad
$\bekutoru{HE}=\Dfrac{1}{2}\bekutoru{HB}$,\quad
$\bekutoru{HF}=\Dfrac{1}{2}\bekutoru{HC}$ から

$\bekutoru{DE}=\Dfrac{1}{2}\bekutoru{AB}$,\quad
$\bekutoru{EF}=\Dfrac{1}{2}\bekutoru{BC}$,\quad
$\bekutoru{FD}=\Dfrac{1}{2}\bekutoru{CA}$ となり

\sankaku{ABC}\souzi\sankaku{DEF} であり相似比は $2\,:\,1$ .

したがって 2つの三角形に外接する円の半径も $2\,:\,1$ になる。

\end{jquote}%

【定理1 の証明】
\begin{jquote}(2zw){}%
\vspace*{-2\baselineskip}
\begin{align*}{}%
\sankaku{PQR}&=\Dfrac{\mathrm{QR}\cdot\mathrm{RP}\cdot\mathrm{PQ}}{4\cdot\Kakko{\sankaku{PQR}の外接円の半径}}\\
&=\Dfrac{a\cos{A}\cdot{}b\cos{B}\cdot{}c\cos{C}}{4\cdot\Dfrac{1}{2}\Kakko{\sankaku{ABC}の外接円の半径}}\\
&=\Dfrac{abc}{4\cdot\Kakko{\sankaku{ABC}の外接円の半径}}\cdot{}2\cos{A}\cos{B}\cos{C}\\
&=2\times\sankaku{ABC}\times\cos{A}\cos{B}\cos{C}
\end{align*}%
\end{jquote}%

\end{document}

鋭角三角形
という前提を付けておくべきでした。(^^ゞ