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└◇126:Re:垂足三角形 [田中徹] 10/31 23:01

オォッ emath サイト表紙を飾る九点円ではないですか。

個人的には私が高校2年当時、添削問題で証明できなかったという
苦い思い出が頭をよぎったりします。

あっさりこのような回答を示されるとは...

自分なりに補題等を証明してみました。

本当にありがとうございました。

\documentclass[b5j,fleqn]{jarticle}

\usepackage[papersize]{emathP}

\pagestyle{empty}

\setlength{\paperwidth}{182mm}
\setlength{\paperheight}{257mm}
\setlength{\textwidth}{\paperwidth}
\addtolength{\textwidth}{-22mm}
\setlength{\textheight}{\paperheight}
\addtolength{\textheight}{-30mm}

\setlength{\leftmargin}{0mm}
\setlength{\oddsidemargin}{-12mm}
\setlength{\topmargin}{-10mm}
\setlength{\headsep}{0mm}
\setlength{\parindent}{0zw}
\setlength{\columnsep}{12mm}
\setlength{\columnseprule}{0.1mm}
\setlength{\mathindent}{0mm}

\abovedisplayskip=0mm
\belowdisplayskip=0mm

%%%%%%%%%%%%% Local macro %%%%%%%%%%%%%%
\def\Dfrac#1#2{\displaystyle{\frac{\raisebox{-1mm}{$\,#1\,$}}{\raisebox{1mm}{$\,#2\,$}}}} 
\def\Par#1{\left(#1\right)}
\def\Kakko#1{\inhibitglue（{#1}）\inhibitglue}%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{document}
【補題1 の証明】\Kakko{代数的で恐縮です}
\begin{jquote}(2zw){}%
\caprm[o]
余弦定理から
\begin{align*}{}%
\mathrm{QR}^{2}&=\mathrm{AR}^{2}+\mathrm{AQ}^{2}-2\mathrm{AR}\cdot\mathrm{AQ}\cos{A}\\
&={\Par{b\cos{A}}}^{2}+{\Par{c\cos{A}}}^{2}-2\Par{b\cos{A}}\Par{c\cos{A}}\cos{A}\\
&=\{b^{2}+c^{2}-2bc\cos{A}\}\cos^{2}{A}\\
&=a^{2}\cos^{2}{A}\\
\mathrm{QR}&=a\EMabs{\cos{A}}
\end{align*}%
\end{jquote}%

【補題2 の証明】
\begin{jquote}(2zw){}%
$\bekutoru{HD}=\Dfrac{1}{2}\bekutoru{HA}$,\quad
$\bekutoru{HE}=\Dfrac{1}{2}\bekutoru{HB}$,\quad
$\bekutoru{HF}=\Dfrac{1}{2}\bekutoru{HC}$ から

$\bekutoru{DE}=\Dfrac{1}{2}\bekutoru{AB}$,\quad
$\bekutoru{EF}=\Dfrac{1}{2}\bekutoru{BC}$,\quad
$\bekutoru{FD}=\Dfrac{1}{2}\bekutoru{CA}$ となり

\sankaku{ABC}\souzi\sankaku{DEF} であり相似比は $2\,:\,1$ .

したがって 2つの三角形に外接する円の半径も $2\,:\,1$ になる。

\end{jquote}%

【定理1 の証明】
\begin{jquote}(2zw){}%
\vspace*{-2\baselineskip}
\begin{align*}{}%
\sankaku{PQR}&=\Dfrac{\mathrm{QR}\cdot\mathrm{RP}\cdot\mathrm{PQ}}{4\cdot\Kakko{\sankaku{PQR}の外接円の半径}}\\
&=\Dfrac{a\cos{A}\cdot{}b\cos{B}\cdot{}c\cos{C}}{4\cdot\Dfrac{1}{2}\Kakko{\sankaku{ABC}の外接円の半径}}\\
&=\Dfrac{abc}{4\cdot\Kakko{\sankaku{ABC}の外接円の半径}}\cdot{}2\cos{A}\cos{B}\cos{C}\\
&=2\times\sankaku{ABC}\times\cos{A}\cos{B}\cos{C}
\end{align*}%
\end{jquote}%

\end{document}