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└◇661:弘前大2008年後期の問題 [なお1962] 08/02 17:25

　└◇664:Re:弘前大2008年後期の問題 [tDB] 08/03 08:33
　　└◇665:Re[2]:弘前大2008年後期の問題 [なお1962] 08/04 09:31
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数学IIIの図形と極限の問題ですが，
覚えたての\calcvalを使い
tの値を変えることによって
図が変化する，というのを作ってみました。
（プリントにするのに最適な図がほしかったので）
よろしかったらお試し下さい。

以下はそのソースファイルの内容です。

\documentclass[a4j,10pt,onecolumn,oneside,notitlepage,fleqn,final]{jarticle}

\usepackage[top=15mm,bottom=15mm,left=15mm,right=15mm]{geometry}
\usepackage{emathP}
\usepackage{emathMw}
\usepackage{emathEy}

\setlength\parindent{0pt}

\pagestyle{empty}

\begin{document}

\newcommand{\HirosakiXt}[2]{
        \def\TKaku{#1}
        \calcval{\TKaku*180/$pi}\Tkaku %弧度法を度数法に変換
        \calcval{cos(\TKaku)}\Qx %点Qのx座標
        \calcval{sin(\TKaku)}\Qy %点Qのy座標
        \calcval{(\TKaku)**2}\TT %点Rのy座標
        \calcval{1/\TKaku}\Ti %直線y=1/tの右辺
        \calcval{max(\Ti,\TT)+0.5}\YMAX %\ymax
        {\small\begin{zahyou}[ul={#2}mm](-1.5,1.5)(-1.5,\YMAX)
        \def\O{(0,0)}
        \def\P{(1,0)}
        \def\Q{(\Qx,\Qy)}
        \def\R{(1,\TT)}
        \Landl\Q\R{(0,\Ti)}{(1,0)}\S %2直線QRとy=1/tの交点S
        \En\O{1}
        \Tyokusen\Q\R{}{}
        \YGurafu{\Ti}{}{}
        \Drawlines{\O\Q}
        \Kakukigou\P\O\Q{}
        \Kuromaru\P\Put\P[nw]{P}\Put\P[se]{1}
        \Kuromaru\Q\Put\Q[ne]{Q}
        \Kuromaru\R\Put\R[ne]{R}\Put\R[syaei=x,xlabel={}]{}
        \Kuromaru\S\Put\S[syaei=x,xlabel=X(t)]{}
        \Put{(0,1)}[nw]{1}
        \Put{(-1,0)}[sw]{$-1$}
        \Put{(0,-1)}[sw]{$-1$}
        \Put{(\xmin,\Ti)}[ne]{$y=\bunsuu{1}{t}$}
        \Put{(0,-1.5)}[s]{\scriptsize$t=\ko{PQ}=\kaku{POQ}=\TKaku\kinzi\Tkaku\Deg$}
        \end{zahyou}}}

%いろいろな値を代入してみてください

\HirosakiXt{0.2}{30} %1つめの引数はtの値，2つめの引数はunitlength(mm)

\newpage

%使用例です。

　次の問いに答えよ。

\begin{Enumerate}[(1)]
\item $\dlim{t\to 0}{\bunsuu{\sin t}{t}}=1$ を利用して，次の極限を求めよ。　　$\dlim{t\to 0}{\bunsuu{1-\cos t}{t^2}}$
\item 座標平面上の原点を中心とする半径 1 の円周上に 2 点 P，Q があり，点 P の座標は $(1,~0)$，点 Q の $y$ 座標は正であるとする。弧 PQ の長さを $t$ とする。ただし $0<t<\pi$ である。いま，点 R$(1,~t^2)$ と点 Q を結ぶ直線と直線 $y=\bunsuu{1}{t}$ との交点の $x$ 座標を $X(t)$ とする。このとき，右側からの極限 $\dlim{t\to +0}{X(t)}$ を求めよ。\\
\hfill 〔2008年後期　弘前大理工（数理科学科）〕
\end{Enumerate}

\fbox{\textbf{解答}}

\begin{Enumerate}[(1)]
\item $\dlim{t\to 0}{\bunsuu{1-\cos t}{t^2}}%
        =\dlim{t\to 0}{\bunsuu{(1-\cos t)(1+\cos t)}{t^2(1+\cos t)}}%
        =\dlim{t\to 0}{\bunsuu{1-\cos^2 t}{t^2(1+\cos t)}}%
        =\dlim{t\to 0}{\bunsuu{\sin^2 t}{t^2(1+\cos t)}}$\\
$\phantom{\dlim{t\to 0}{\bunsuu{1-\cos t}{t^2}}}%
        =\dlim{t\to 0}{\left(\bunsuu{\sin t}{t}\right)^2}\times\dlim{t\to 0}{\bunsuu{1}{1+\cos t}}
        =1^2\times\bunsuu{1}{2}=\bunsuu{1}{2}$%
        \hfill\textbf{\mathversion{bold}{答　$\dlim{t\to 0}{\bunsuu{1-\cos t}{t^2}}=\bunsuu{1}{2}$}}

\def\Exi{0.7}
\def\Exii{0.3}

\item\begin{mawarikomi}{50mm}{
\hfill\HirosakiXt{\Exi}{15}

\vspace{25pt}

\hfill\HirosakiXt{\Exii}{15}}
図は右のようになる ($t={\Exi}$ と $t={\Exii}$ の場合)。

円の半径が1であるから，弧PQの長さと中心角$\kaku{POQ}$が一致する。

つまり，　$t=\ko{PQ}=\kaku{POQ}$

したがって，点 Q の座標は $(\cos t,~\sin t)$

R$(1,~t^2)$ より直線 QR の方程式は，

　　$(1-\cos t)(y-\sin t)=(t^2 -\sin t)(x-\cos t)$

この直線が点 $\left(X(t),~\bunsuu{1}{t}\right)$ を通るので，

　　$(1-\cos t)\left(\bunsuu{1}{t}-\sin t\right)=(t^2 -\sin t)(X(t)-\cos t)$

したがって，

　　$X(t)=\bunsuu{(1-\cos t)\left(\bunsuu{1}{t}-\sin t\right)}{t^2 -\sin t}+\cos t$

　　$\phantom{X(t)}=\bunsuu{1-\cos t}{t^2}\cdot\bunsuu{\bunsuu{1}{t}-\sin t}{1-\bunsuu{\sin t}{t^2}}+\cos t$

　　$\phantom{X(t)}=\bunsuu{1-\cos t}{t^2}\cdot\bunsuu{1-t\sin t}{t-\bunsuu{\sin t}{t}}+\cos t$

$\dlim{t\to 0}{\bunsuu{\sin t}{t}}=1$，$\dlim{t\to 0}{\bunsuu{1-\cos t}{t^2}}=\bunsuu{1}{2}$ より，

　　$\dlim{t\to +0}{X(t)}=\bunsuu{1}{2}\cdot\bunsuu{1-0}{0-1}+1=-\bunsuu{1}{2}+1=\bunsuu{1}{2}$

\hfill{\textbf{\mathversion{bold}{答　$\dlim{t\to +0}{X(t)}=\bunsuu{1}{2}$}}}

\end{mawarikomi}

\end{Enumerate}

\end{document}

> tの値を変えることによって
> 図が変化する，というのを作ってみました。

労作をありがとうございます。

お示しのように，
　　変数を用いて図を描画し，変数の動きと図の動きを眺める
のは emath の一つのねらいです。

> お示しのように，
> 　　変数を用いて図を描画し，変数の動きと図の動きを眺める
> のは emath の一つのねらいです。

TeX に触りはじめたころ (MS-DOS でした) 
図を入れるスペースを空けておいて
手書きの図をはさみとのりで貼っていたのを思い出しました。

あのころ，ここにきれいなグラフを入れられたらいいなと
思っていたものですが，
tDB さんが emath を開発してくださったおかげで
それが実現しました。

とても感謝しています。

> > お示しのように，
> > 　　変数を用いて図を描画し，変数の動きと図の動きを眺める
> > のは emath の一つのねらいです。

なお1962 さんの ルーチンはそのままにして
パタパタ(アニメ風)を作成してみました。
dviout で 「進む」ときは 良いのですが 「戻る」ときは...
最後のページで X(t) が 0.5 を超えるのは誤差のご愛敬ということでご容赦下さい。

 
> あのころ，ここにきれいなグラフを入れられたらいいなと
> 思っていたものですが，
> tDB さんが emath を開発してくださったおかげで
> それが実現しました。
>
> とても感謝しています。

私もそう思っています。

\documentclass[a4j]{jarticle}

\usepackage{emathP}

\setlength\parindent{0pt}

\pagestyle{empty}

\begin{document}

\newcommand{\HirosakiXt}[2]{
        \def\TKaku{#1}
        \calcval{\TKaku*180/$pi}\Tkaku %弧度法を度数法に変換
        \calcval{cos(\TKaku)}\Qx %点Qのx座標
        \calcval{sin(\TKaku)}\Qy %点Qのy座標
        \calcval{(\TKaku)**2}\TT %点Rのy座標
        \calcval{1/\TKaku}\Ti %直線y=1/tの右辺
        \calcval{max(\Ti,\TT)+0.5}\YMAX %\ymax
%        {\small\begin{zahyou}[ul={#2}mm](-1.5,1.5)(-1.5,\YMAX)%
        {\small\begin{zahyou}[ul={#2}mm](-1.5,1.5)(-1.5,10)%
        \def\O{(0,0)}
        \def\P{(1,0)}
        \def\Q{(\Qx,\Qy)}
        \def\R{(1,\TT)}
        \Landl\Q\R{(0,\Ti)}{(1,0)}\S %2直線QRとy=1/tの交点S
                \vecXY\S\Xt\Yt
        \En\O{1}
        \Tyokusen\Q\R{}{}
        \YGurafu{\Ti}{}{}
        \Drawlines{\O\Q}
        \Kakukigou\P\O\Q{}
        \Kuromaru\P\Put\P[nw]{P}\Put\P[se]{1}
        \Kuromaru\Q\Put\Q[ne]{Q}
        \Kuromaru\R\Put\R[ne]{R}\Put\R[syaei=x,xlabel={}]{}
        \Kuromaru\S\Put\S[syaei=x,xlabel=X(t)]{}
        \Put{(0,1)}[nw]{1}
        \Put{(-1,0)}[sw]{$-1$}
        \Put{(0,-1)}[sw]{$-1$}
        \Put{(\xmin,\Ti)}[ne]{$y=\bunsuu{1}{t}$}
        \Put{(0,-1.5)}[s]{\scriptsize$t=#1\\,\:\,X(t)=\Xt$}
        \end{zahyou}}
}

%いろいろな値を代入してみてください

\Ifor\I{0}{20}\Do{%
\calcval[5.2f]{0.2-(\I/100)}\Parami
\HirosakiXt{\Parami}{10} %1つめの引数はtの値，2つめの引数はunitlength(mm)
\newpage
}

\end{document}

パタパタ（アニメ風）は自分で作ってみたことがないので
（作ってみたいという気持ちはありましたが）
よい参考になります。

これを機に作り方を勉強しようと思います。
ありがとうございました。