▼スレッド
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└◇8:Re:重心の存在範囲 [tDB] 09/04 21:28

　└◇9:Re[2]:重心の存在範囲 [田中徹] 09/04 23:39<-last

これは，今年の京都大学の入試問題でしょうか。
ベクトルの問題と見立てる，というのが良さそうです。
私の解答は既に，0048200608.tex に記述しましたから，
ここでは遊びで，実験的に条件を満たす点をプロットしてみました。

\documentclass{jarticle}
\usepackage{emathPh}

\begin{document}
\begin{zahyou*}[ul=10mm](-2,3)(-4,0)
  \tenretu{A(0,0)n;B(-2,-4)s;C(3,-4)s}
  \def\kizamiti{0.1}
  \Cfor{\def\pval{0}}{\lengthtest{\pval pt<1.001pt}}{\Addself\pval\kizamiti}\do{%
    \Sub{1}\pval\ppval
    \Bunten\B\C\pval\ppval\P
    \Cfor{\def\qval{0}}{\lengthtest{\qval pt<1.001pt}}{\Addself\qval\kizamiti}\do{%
      \Mulvec\qval\C\Q
      \Cfor{\def\rval{0}}{\lengthtest{\rval pt<1.001pt}}{\Addself\rval\kizamiti}\do{%
        \Mulvec\rval\B\R
        \Zyuusin\P\Q\R\G
        \Kuromaru\G
      }%
    }%
  }
  \Takakkei{\A\B\C}
\end{zahyou*}
\end{document}

> これは，今年の京都大学の入試問題でしょうか。
はい、言葉足らずでどうもすみませんでした。
意図的に隠したわけではありませんm(__)m

> ベクトルの問題と見立てる，というのが良さそうです。
ありがとうございます。
先の発言で
>> 少し計算することで
というのはベクトルで斜行座標を弄ったりしました。

ここで、どの解答が良いか悪いかという事でなく
幾何学的に何かないかなと感じている次第です。
現在
一般 n 角形で「各辺上に重さ 1 の質点を置く」や
「位置ベクトルの基点を n 角形の重心にする」などして
なるべく計算をなくす工夫をしていますが
ピンとくるものがありません。

空間四面体の射影で考えようとしたら、
四面体は辺が 6本ありますよとあっさり否決されました。

お忙しいところ、おつきあいいただきありがとうございました。


%%%%%%%%%%%%%%% 掃過領域を用いた考え %%%%%%%%%%%%%%%%%%
\documentclass[b5j]{jarticle}
\usepackage[papersize]{emathP}
\pagestyle{empty}

\begin{document}
\caprm
\begin{mawarikomi}[l]{}
{
\begin{zahyou*}[ul=5mm](0,5)(0,5)
\tenretu{A(3,5)n;B(0,0)w;C(5,0)e}
\Takakkei{\A\B\C}
\Bunten\A\B{1}{1}\BB
\Bunten\A\C{1}{1}\CC
\Bunten\B\C{1}{1}\AA
\Put\BB[w]{$B'$}
\Put\CC[e]{$C'$}
\Put\AA[s]{$A'$}
\Nuritubusi*{\A\BB\AA\CC\A}
\Takakkei{\A\BB\AA\CC}
\end{zahyou*}%
}

辺 AB 上の点と辺 AC 上の点の重心(中点)は、%
左の図の斜線部分であり、%
斜線部から任意の 1点 $G_{1}$ をとり、%
辺 BC 上から任意の 1点 P を選んで、%
$G_{1}$ を重さ 2, P を重さ 1 の質点と考えると、%
求める重心は線分 $G_{1}P$ を%
$1\,:\,2$ の比に内分する点である。

本来厳密な計算を施さなければいけないかもしれないが、%
BC 上の 1 点を固定したとき、斜線部の像は%
経験的(数II 図形と軌跡)に相似比 2/3 の図形(平行四辺形)となる。
\end{mawarikomi}%
\bigskip

\begin{zahyou*}[ul=5mm](0,5)(0,5)
\tenretu{A(3,5)n;B(0,0)w;C(5,0)e}
\Takakkei{\A\B\C}
\Bunten\A\B{1}{1}\BB
\Bunten\A\C{1}{1}\CC
\Bunten\B\C{1}{1}\AA
\Bunten\B\A{2}{1}\Ai
\Bunten\B\BB{2}{1}\BBi
\Bunten\B\AA{2}{1}\AAi
\Bunten\B\CC{2}{1}\CCi
\Takakkei{\Ai\BBi\AAi\CCi}
\Nuritubusi*{\Ai\BBi\AAi\CCi\Ai}
\PutStr*{(5pt,10pt)}{\parbox{6zw}{BC上の点を\\Bに固定した\\ときの像}}to[addvec={(-15pt,0pt)}]\CCi
\end{zahyou*}%
\hfill{}
\begin{zahyou*}[ul=5mm](0,5)(0,5)
\tenretu{A(3,5)n;B(0,0)w;C(5,0)e}
\Takakkei{\A\B\C}
\Bunten\A\B{1}{1}\BB
\Bunten\A\C{1}{1}\CC
\Bunten\B\C{1}{1}\AA
\Bunten\C\A{2}{1}\Aii
\Bunten\C\BB{2}{1}\BBii
\Bunten\C\AA{2}{1}\AAii
\Bunten\C\CC{2}{1}\CCii
\Takakkei{\Aii\BBii\AAii\CCii}
\Nuritubusi*{\Aii\BBii\AAii\CCii\Aii}
\PutStr*{(5pt,10pt)}{\parbox{6zw}{BC上の点を\\Cに固定した\\ときの像}}to[addvec={(-15pt,0pt)}]\CCii
\end{zahyou*}%
\hfill{}

\bigskip

BC 上の点を動かすことは上の像の掃過領域となるので、%
先の 6角形が得られる。
\end{document}