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└◇741:北見工業大学 2009 最終問 [tDB] 06/30 19:15

なんだか静かですねぇ。

ということで駄文を．．．．．

北見工業大学の入試問題では，［囲み］を用いた形式が続いています。
今年は，
　　小問を \oval 囲み
にしているようです。
（もっとも，原文を見ているのではありませんから，断言は出来ません。）

それらの間には，小問ではない，解説文とでもいうべきものが挟まりますので，
enumerate ではどうも，という気がします。
ということで，
　　psrectbox環境の oval囲みの中に定理型環境を入れる
という方法を試みました。

% --- 0007200910.tex ----------------------------------------------
% 年度 2009
% 出題 0007 北見工業大学
% 検索キーワード 数と式1 整数 命題と論証
% 科目 数�T 数Ａ

\documentclass[fleqn]{jarticle}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[remake]{emathPs}
\usepackage{emathPsb}
\usepackage{emathThm}
\usepackage[continue]{emathAe}

\theoremheaderfont{\normalfont}
\theorembodyfont{\normalfont}
\newtheorem{mondai}{}
\def\themondai{(\the\value{mondai})}
\def\Mondai{%
  \begin{psrectbox}[oval=8pt,tsep=-5pt,bsep=-2pt,framethickness=.4pt]
  \begin{mondai}
}
\def\endMondai{%
  \end{mondai}
  \end{psrectbox}
}

\begin{document}
以下の文を読み，その中にある問いに答えよ。
$\bunsuu1{a_1}+\cdots+\bunsuu1{a_k}=1$をみたす1つ以上の自然数
\retu{a_1,\cdots,a_k}があって，$n=a_1+\dots+a_k$となるとき，
$n$を\textbf{調和のとれた自然数}と呼ぶことにする。
ここで，\retu{a_1,\cdots,a_k}の中には，同じ自然数が含まれていても良い。

たとえば，4は調和のとれた自然数である。
なぜなら，$1=\bunsuu12+\bunsuu12$なので，$a_1=2$, $a_2=2$とすることにより，
$4=2+2=a_1+a_2$となるからである。
また，1は調和のとれた自然数である。なぜなら，$a_1=1$とすると
$1=\bunsuu1{a_1}$となるからである。

一方，2はどうだろうか。2をいくつかの自然数\retu{a_1,\cdots,a_k}の和として
表そうとすると，そのやり方は，$a_1=2$として$2=a_1$とするか，$a_1=1$, $a_2=1$
として$2=1+1=a_1+a_2$とするかの2通りしかない。
しかし。最初の場合は$\bunsuu1{a_1}=\bunsuu12$は1にはならない。
また。もう一方の場合も，$\bunsuu1{a_1}+\bunsuu1{a_2}=\bunsuu11+\bunsuu11=2$
となって。やはり1にはならない。従って，$\bunsuu1{a_1}+\dots+\bunsuu1{a_k}=1$
をみたす自然数\retu{a_1,\cdots,a_k}で，$2=a_1+\dots+a_k$となるようなものは
存在しないので，2は調和のとれた自然数ではないことがわかる。

\begin{Mondai}
  3は調和のとれた自然数でないことを示せ。
\end{Mondai}

\begin{Mondai}
  9は調和のとれた自然数であることを示せ
\end{Mondai}

さて，調和のとれた自然数がひとつあるときに，それを使って，
別の調和のとれた自然数を作り出すことができる。
次の命題は，そのやり方のひとつを述べている。

\begin{description}
\item[命題：]$n$が調和のとれた自然数ならば，$2n+2$は調和のとれた自然数である。
\end{description}

\begin{description}
\item[証明：]$n$を調和のとれた自然数とすると，
  $\bunsuu1{a_1}+\dots+\bunsuu1{a_k}=1$をみたす自然数\retu{a1,\cdots,a_k}
  があり，$n=a_1+\dots+a_k$となっている。
  \[ \bunsuu12=\bunsuu1{2a_1}+\dots+\bunsuu1{2a_k} \]
  なので，
  \[ 1=\bunsuu12+\bunsuu12=\bunsuu12+\bunsuu1{2a_1}+\dots+\bunsuu1{2a_k} \]
  となり，
  \[ 2+2a_1+\dots+2a_k=2+2(a_1+\dots+a_k)=2+2n \]
  も調和のとれた自然数となる。［\textbf{証明終り}］
\end{description}

\begin{Mondai}
  $n$が調和のとれた自然数ならば，$3n+6$は
  調和のとれた自然数であることを証明せよ。
\end{Mondai}
\end{document}