発言者： tDB
発言日： 2009 06/30 19:15
なんだか静かですねぇ。
ということで駄文を．．．．．
北見工業大学の入試問題では，［囲み］を用いた形式が続いています。
今年は，
小問を \oval 囲み
にしているようです。
（もっとも，原文を見ているのではありませんから，断言は出来ません。）
それらの間には，小問ではない，解説文とでもいうべきものが挟まりますので，
enumerate ではどうも，という気がします。
ということで，
psrectbox環境の oval囲みの中に定理型環境を入れる
という方法を試みました。
% --- 0007200910.tex ----------------------------------------------
% 年度 2009
% 出題 0007 北見工業大学
% 検索キーワード 数と式1 整数 命題と論証
% 科目 数Ⅰ 数Ａ
\documentclass[fleqn]{jarticle}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[remake]{emathPs}
\usepackage{emathPsb}
\usepackage{emathThm}
\usepackage[continue]{emathAe}
\theoremheaderfont{\normalfont}
\theorembodyfont{\normalfont}
\newtheorem{mondai}{}
\def\themondai{(\the\value{mondai})}
\def\Mondai{%
\begin{psrectbox}[oval=8pt,tsep=-5pt,bsep=-2pt,framethickness=.4pt]
\begin{mondai}
}
\def\endMondai{%
\end{mondai}
\end{psrectbox}
}
\begin{document}
以下の文を読み，その中にある問いに答えよ。
$\bunsuu1{a_1}+\cdots+\bunsuu1{a_k}=1$をみたす1つ以上の自然数
\retu{a_1,\cdots,a_k}があって，$n=a_1+\dots+a_k$となるとき，
$n$を\textbf{調和のとれた自然数}と呼ぶことにする。
ここで，\retu{a_1,\cdots,a_k}の中には，同じ自然数が含まれていても良い。
たとえば，4は調和のとれた自然数である。
なぜなら，$1=\bunsuu12+\bunsuu12$なので，$a_1=2$, $a_2=2$とすることにより，
$4=2+2=a_1+a_2$となるからである。
また，1は調和のとれた自然数である。なぜなら，$a_1=1$とすると
$1=\bunsuu1{a_1}$となるからである。
一方，2はどうだろうか。2をいくつかの自然数\retu{a_1,\cdots,a_k}の和として
表そうとすると，そのやり方は，$a_1=2$として$2=a_1$とするか，$a_1=1$, $a_2=1$
として$2=1+1=a_1+a_2$とするかの2通りしかない。
しかし。最初の場合は$\bunsuu1{a_1}=\bunsuu12$は1にはならない。
また。もう一方の場合も，$\bunsuu1{a_1}+\bunsuu1{a_2}=\bunsuu11+\bunsuu11=2$
となって。やはり1にはならない。従って，$\bunsuu1{a_1}+\dots+\bunsuu1{a_k}=1$
をみたす自然数\retu{a_1,\cdots,a_k}で，$2=a_1+\dots+a_k$となるようなものは
存在しないので，2は調和のとれた自然数ではないことがわかる。
\begin{Mondai}
3は調和のとれた自然数でないことを示せ。
\end{Mondai}
\begin{Mondai}
9は調和のとれた自然数であることを示せ
\end{Mondai}
さて，調和のとれた自然数がひとつあるときに，それを使って，
別の調和のとれた自然数を作り出すことができる。
次の命題は，そのやり方のひとつを述べている。
\begin{description}
\item[命題：]$n$が調和のとれた自然数ならば，$2n+2$は調和のとれた自然数である。
\end{description}
\begin{description}
\item[証明：]$n$を調和のとれた自然数とすると，
$\bunsuu1{a_1}+\dots+\bunsuu1{a_k}=1$をみたす自然数\retu{a1,\cdots,a_k}
があり，$n=a_1+\dots+a_k$となっている。
\[ \bunsuu12=\bunsuu1{2a_1}+\dots+\bunsuu1{2a_k} \]
なので，
\[ 1=\bunsuu12+\bunsuu12=\bunsuu12+\bunsuu1{2a_1}+\dots+\bunsuu1{2a_k} \]
となり，
\[ 2+2a_1+\dots+2a_k=2+2(a_1+\dots+a_k)=2+2n \]
も調和のとれた自然数となる。［\textbf{証明終り}］
\end{description}
\begin{Mondai}
$n$が調和のとれた自然数ならば，$3n+6$は
調和のとれた自然数であることを証明せよ。
\end{Mondai}
\end{document}
▼関連発言
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└◆741:北見工業大学 2009 最終問 [tDB] 06/30 19:15<-last