(1)
>      \Put\A[syaei=xy,xlabel=\sqrt[4]{3},ylabel=]{}

でエラーとなるのは，emath の知ったことではありません。
[...] オプションの終了判定についての TeX の仕様によります。
あなたは[...]オプションは
    [syaei=xy,xlabel=\sqrt[4]{3},ylabel=]
と思ってるのでしょうが，TeX の認識は
    [syaei=xy,xlabel=\sqrt[4]
でおしまい，すなわち`['以降，最初の']'でおしまいなのです。
対策ですか？
    [syaei=xy,xlabel={\sqrt[4]{3}},ylabel=]
です。違い，お分かりですか？
TeX のオプションの解析時，
{...}でくくったものはブラックボックス扱いでその中は見ません。

(2)
>   　\sqrt[4]{3} の替りに \zettaiti{3} としても

TeX では，引数内に制御綴を入れる際，\protect をかぶせなければならない，
ことが多々あります。
    \sqrt は不要
    \bunsuu は emath.sty v 1.55 で省略可に
ですが，\zettaiti は \protect が必要，ということです。

▼関連発言
│
└◆3989:\Put のオプション [mrgm] 11/19 08:41
　└◆3990:Re:\Put のオプション [tDB] 11/19 09:08
　　└◆3991:Re[2]:\Put のオプション [mrgm] 11/19 09:48<-last