お久しぶりです。
今日は，コンピュータの前を離れていましたので，
返信が遅くなりました。

さて，emath も FTeX の頃から大分変わってきました。

A] edaenumerate 環境は
    emathEy.sty
に移管しましたので，プリアンブルに
    \usepackage{emathEy}
を記述しなければならなくなりました。

B] \kaitou{....} の記述位置を直してください。

B-1)
> \kaitou{\def\Kaienumerate{edaenumerate}\def\Kaienumopt{<edafirstindent=2zw,retusuu=2>}}%
> \openKaiFile
> \begin{enumerate}
> \item　大問1

これは手順前後です。
冒頭の \kaitou{.....} は
\item 大問1
の後に記述します。

B-2) 大問2にも \kaitou{} を記述します。

修正リストです:

% -----------------------------------------------
\documentclass{jarticle}
\usepackage{hako}
\usepackage{emathEy}% edaenumerate 環境を用いるときは，emathEy.sty が必要
\usepackage{emathAe}
\renewcommand{\labelenumi}{\framebox[1.2em][c]{\arabic{enumi}}~}% 大問
\renewcommand{\labelenumii}{(\arabic{enumii})}%                 小問

\begin{document}
%\kaitou{\def\Kaienumerate{edaenumerate}\def\Kaienumopt{<edafirstindent=2zw,retusuu=2>}}% 置く位置が違います。
%         大問1 の問題文の最後に配置します。
\openKaiFile
\begin{enumerate}
\item　大問1
\kaitou{\def\Kaienumerate{edaenumerate}\def\Kaienumopt{<edafirstindent=2zw,retusuu=2>}}% 置く位置を動かしました。

\begin{edaenumerate}

\item 小問1\kaitou{解答1}
\vspace{3cm}\\
\hfill\underline{解答欄1}

\item 小問2\kaitou{解答2}
\vspace{3cm}\\
\hfill\underline{解答欄2}

\end{edaenumerate}

\item 大問2(穴埋め1)
\kaitou{}% 大問に解答をつけない場合でも，ダミーの \kaitou{}が必要です。
\hakosyokika
\begin{enumerate}
\item 穴埋め問題1,\,\Hako'穴埋め解答1'
\vfill\hfill\underline{穴埋め解答欄1}

\item 穴埋め問題2,\,\Hako'穴埋め解答2'
\vfill\hfill\underline{穴埋め解答欄2}

\end{enumerate}

\item 大問3

\kaitou{\def\Kaienumerate{edaenumerate}%
                  \def\Kaienumopt{<edafirstindent=2zw,retusuu=2>}}%
\begin{edaenumerate}
\item 小問1\kaitou{解答1}
\vspace{3cm}\\
\hfill\underline{解答欄1}

\item 小問2\kaitou{解答2}
\vspace{3cm}\\
\hfill\underline{解答欄2}

\end{edaenumerate}

\item 大問4(穴埋め) \kaitou{}% ここにもダミーで \kaitou{} をつけます。

\hakosyokika
\begin{enumerate}
\item 穴埋め問題1,\,\Hako'穴埋め解答1'
\vfill\hfill\underline{穴埋め解答欄1}

\item 穴埋め問題2,\,\Hako'穴埋め解答2'
\vfill\hfill\underline{穴埋め解答欄2}

\end{enumerate}

\end{enumerate}

\closeKaiFile
\hrule

【解答】
\inputKaiFile
\end{document}

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