田中さんの Beamer によるプレゼンの例「部分積分の新しい試み」を読んだ後，次のようなことを考えました。


\documentclass{jsarticle}

\usepackage{emathP}

\begin{document}

田中徹さんの Beamer によるプレゼンの例「部分積分の新しい試み」を興味深く読ませていただきました。要は，

\medskip

$\dint{}{}{A(x)B(x)}\,dx$ において，\\
　　　　$A(x)$ を $x$ について $n$ 回微分したものを $A_n(x)$，\\
　　　　$B(x)$ を $x$ について $n$ 回積分したものを $B_n(x)$\\
としたとき，$A(x)$ が $i$ 回目に初めて 0 になったとすると，
$$ \dint{}{}{A(x)B(x)}\,dx=A(x)B_1(x)-A_1(x)B_2(x)+A_2(x)B_3(x)-A_3(x)B_4(x)+\cdots +A_{i-1}(x)B_i(x)$$
が成り立つ，ということでした。

\medskip

そこで，$A(x)$が退化しない次の例を考えてみました。

\medskip
\hfil *\hfil *\hfil *
\medskip

$A(x)$ を何度微分しても 0 にならない関数とした場合，例えば $A(x)=\log x$，$B(x)=1$ とした場合は，
$$A(x)=\log x,~~A_1(x)=\bunsuu{1}{x},~~A_2(x)=-\bunsuu{1}{x^2},~~\cdots,~~A_{n-1}(x)=(-1)^{n-2} (n-2)\kaizyou\cdot\bunsuu{1}{x^{n-1}},~~\cdots$$
$$B_1(x)=x,~~B_2(x)=\bunsuu{1}{2}x^2,~~B_3(x)=\bunsuu{1}{6}x^3,~~\cdots,~~B_n(x)=\bunsuu{1}{n\kaizyou}x^n,~~\cdots$$
となるので，
$$\begin{aligned}%
\dint{}{}{\log x}\,dx &= x\log x+\retuwa{k=2}{\infty}\left\{(k-2)\kaizyou\cdot\bunsuu{1}{x^{k-1}}\times\bunsuu{1}{k\kaizyou}x^k\right\}\\
 &= x\log x+x\retuwa{k=2}{\infty}{\bunsuu{1}{(k-1)k}}\\
 &= x\log x+x\dlim{n\to\infty}\left\{\bunsuu{1}{1\cdot 2}+\bunsuu{1}{2\cdot 3}+\bunsuu{1}{3\cdot 4}+\cdots+\bunsuu{1}{(n-1)n}\right\}\\
 &= x\log x+x\dlim{n\to\infty}\left(1-\bunsuu{1}{n}\right)\\
 &= x\log x+x
\end{aligned}$$

\end{document}

▼関連発言
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└◆1237:パタパタ描画=>プレゼンpdf [田中徹] 12/04 12:26
　└◆1238:Re:パタパタ描画=>プレゼンpdf [なお1962] 12/04 17:38
　　├◆1242:Re[2]:パタパタ描画=>プレゼンpdf [なお1962] 12/15 18:06
　　│└◆1244:Re[3]:パタパタ描画=>プレゼンpdf [田中徹] 12/15 19:34<-last
　　└◆1243:Re[2]:パタパタ描画=>プレゼンpdf [なお1962] 12/15 18:54