発言者： st
発言日： 2011 11/10 18:14
円錐側面上の最短経路の端点を、任意の位置にできるようにしてみました。
http://emath.s40.xrea.com/ydir/Wiki/index.php?%B1%DF%BF%ED#t2c6d71e
をもとにし、正弦定理でなく面積和によりパラメータ表示してみました。
不備などあるかもしれないです(数学的設定や文章表現など)。いかがでしょうか?
%ensui_saitan.tex--------------------------------------------------------------
\documentclass[a4paper,fleqn]{jarticle}
\usepackage{graphicx,color}
\usepackage{emathPk}
\usepackage{emathPs}
\usepackage{multido}
\usepackage{EMesvect}
\usepackage{emathEy}
\usepackage{type1cm}% PS, PDF 作成には必要
\oddsidemargin=-12pt
\topmargin=-30pt
\textheight=693pt
\textwidth=478pt
\begin{document}
\parindent=0pt
【円錐の側面上の最短ルート】
円錐の側面上の2点間の最短ルートを描画したい。
$\begin{caprm}
円錐の頂点をO,底面の中心をC,母線の長さをl,底面の半径の長さをr,高さをh,k:= \bunsuu{r}{l} とする。
\end{caprm}$
$\begin{caprm}
円錐の側面上の2点P \neqq O,Q \neqq Oを取る。
\end{caprm}$
$\begin{caprm}
円錐の側面上をPからQまで反時計回りに回る最短ルートを考える。
\end{caprm}$
$\begin{caprm}
直線OP,直線OQと円Cの交点をそれぞれP',Q'とする。円Cの周上に点Aを取り、
\end{caprm}$
$\begin{caprm}
\alpha := \kaku*{ACP'} , \beta := \kaku*{ACQ'} \ ( \alpha < \beta ,k( \beta - \alpha )< \pi ),p:= \bunsuu{OP}{l} ,q:= \bunsuu{OQ}{l} とする。
\end{caprm}$
$\begin{caprm}
原点がO,x軸方向が \bekutoru{CA} ,z軸方向が \bekutoru{CO} の方向である右手系xyz座標空間を設定する。
\end{caprm}$
$\begin{caprm}
最短ルート上の任意の点X(x,y,z)に対して、直線OXと円Cの交点をX',t:= \kaku*{ACX'} とする。
\end{caprm}$
\teisuuretu{l=5;r=2;pkaku=30;p=0.75;qkaku=135;q=0.4;pH=0.4;qH=0.8;t=60;tH=1.2}
\teisuuretu<perl>{a=(\r)+1;h=sqrt((\l)**2-(\r)**2);k=(\r)/(\l)}
\def\cxT{(\r)*cos(T)}
\def\cyT{(\r)*sin(T)}
\def\pxT{(\pH)*cos(T)}
\def\pyT{(\pH)*sin(T)}
\def\qxT{(\qH)*cos(T)}
\def\qyT{(\qH)*sin(T)}
\def\kT{sin((\k)*((\qkaku)-(\pkaku)))/(1/(\q)*sin((\k)*(T-(\pkaku)))+1/(\p)*sin((\k)*((\qkaku)-T)))}
\def\xT{(\kT)*((\r)*cos(T))}
\def\yT{(\kT)*((\r)*sin(T))}
\def\zT{(\kT)*(-\h)}
\def\txT{(\tH)*cos(T)}
\def\tyT{(\tH)*sin(T)}
\begin{psZahyou*}[ul=35pt,Ex={(-1,0)},Ey={(0,-0.333333)},haiti=t](-\a,\a)(-\r,\a)(-\h,0)
\setlinewidth{0.3pt}
\iiictenretu{C(0,0,-\h)ne;A(\r,0,-\h)w;[$\text{P}'$]Pd(\r,\pkaku,-\h)sw;[$\text{Q}'$]Qd(\r,\qkaku,-\h)se;[$\text{X}'$]Xd(\r,\t,-\h)s}
%底面
\iiiParamC<mint=0,maxt=\Pie>\cxT\cyT{-\h}
\iiiParamC<mint=-\Pie,maxt=0,dash={1pt,2pt}>\cxT\cyT{-\h}
\iiiHenKo\C\A{$r$}
%点P,Q
\iiiBunten\O\Pd\p*\P
\iiiHenKo\O\P{$pl$}
\iiiBunten\O\Qd\q*\Q
\iiiHenKo\O\Q{$ql$}
%∠ACP'
\DegRad\pkaku\pkaku
\iiiParamC<mint=0,maxt=\pkaku>\pxT\pyT{-\h}
\iiiParamDiff<setten=Po>\pxT\pyT{-\h}\pkaku\Pv
\iiiYaziri\Po\Pv
\calcval{(\pkaku)/2}\ph
\iiiBTen\pxT\pyT{-\h}\ph\PP
%∠ACQ'
\DegRad\qkaku\qkaku
\iiiParamC<mint=0,maxt=\qkaku>\qxT\qyT{-\h}
\iiiParamDiff<setten=Qo>\qxT\qyT{-\h}\qkaku\Qv
\iiiYaziri\Qo\Qv
\calcval{(\qkaku)/2}\qh
\iiiBTen\qxT\qyT{-\h}\qh\QP
%最短ルート
\iiiParamC<mint=\pkaku,maxt=\qkaku>\xT\yT\zT
\DegRad\t\t
\iiiBTen\xT\yT\zT\t\X
%∠ACX'
\iiiParamC<mint=0,maxt=\t>\txT\tyT{-\h}
\iiiParamDiff<setten=To>\txT\tyT{-\h}\t\Tv
\iiiYaziri\To\Tv
\calcval{(\t)/2}\th
\iiiBTen\txT\tyT{-\h}\th\TP
%
\iiiKuromaru[1pt]{\C\A\P\Pd\Q\Qd\X\Xd}
\iiitenretu**{O[n];P[se];Q[e];[$\alpha$]PP[sw];[$\beta$]QP[se];X[se];[$t$]TP[sw]}
\iiiDrawlines{\A\O(-\r,0,-\h);\Pd\O\Qd;\O\Xd}
\iiiDrawlines<sensyu=\empsdottedline>{\O\C\A;\Pd\C\Qd;\C\Xd}
\end{psZahyou*}
$\\$
$この時 \ \Retube{x}{y}{z} = \bunsuu{\sin k( \beta - \alpha )}{\bunsuu{1}{q} \sin k(t- \alpha )+ \bunsuu{1}{p} \sin k( \beta -t)} \Retube{r \cos t}{r \sin t}{-h} \ ( \alpha \leqq t \leqq \beta )$
(証明)
\begin{psZahyou*}[ul=35pt,Ex={(-1,0)},Ey={(0,-0.333333)},haiti=t](-\a,\a)(-\r,4)(-\h,0)
\setlinewidth{0.3pt}
\iiictenretu{C(0,0,-\h)ne;A(\r,0,-\h)w;[$\text{P}'$]Pd(\r,\pkaku,-\h)sw;[$\text{Q}'$]Qd(\r,\qkaku,-\h)se;[$\text{X}'$]Xd(\r,\t,-\h)s}
%底面
\iiiParamC<mint=0,maxt=\Pie>\cxT\cyT{-\h}
\iiiParamC<mint=-\Pie,maxt=0,dash={1pt,2pt}>\cxT\cyT{-\h}
\iiiHenKo\C\A{$r$}
%点P,Q
\iiiBunten\O\Pd\p*\P
\iiiHenKo\O\P{$pl$}
\iiiBunten\O\Qd\q*\Q
\iiiHenKo\O\Q{$ql$}
%∠ACP'
\DegRad\pkaku\pkaku
\iiiParamC<mint=0,maxt=\pkaku>\pxT\pyT{-\h}
\iiiParamDiff<setten=Po>\pxT\pyT{-\h}\pkaku\Pv
\iiiYaziri\Po\Pv
\calcval{(\pkaku)/2}\ph
\iiiBTen\pxT\pyT{-\h}\ph\PP
%∠ACQ'
\DegRad\qkaku\qkaku
\iiiParamC<mint=0,maxt=\qkaku>\qxT\qyT{-\h}
\iiiParamDiff<setten=Qo>\qxT\qyT{-\h}\qkaku\Qv
\iiiYaziri\Qo\Qv
\calcval{(\qkaku)/2}\qh
\iiiBTen\qxT\qyT{-\h}\qh\QP
%最短ルート
\iiiParamC<mint=\pkaku,maxt=\qkaku>\xT\yT\zT
\DegRad\t\t
\iiiBTen\xT\yT\zT\t\X
%∠ACX'
\iiiParamC<mint=0,maxt=\t>\txT\tyT{-\h}
\iiiParamDiff<setten=To>\txT\tyT{-\h}\t\Tv
\iiiYaziri\To\Tv
\calcval{(\t)/2}\th
\iiiBTen\txT\tyT{-\h}\th\TP
\iiiHenKo<sironuki=false>\Pd\Xd{\footnotesize $r(t- \alpha )$}
\iiiHenKo<henkoH=3ex>\Xd\Qd{\footnotesize $r( \beta -t)$}
%
\iiiKuromaru[1pt]{\C\A\P\Pd\Q\Qd\X\Xd}
\iiitenretu**{O[n];P[se];Q[e];[$\alpha$]PP[sw];[$\beta$]QP[se];X[se];[$t$]TP[sw]}
\iiiDrawlines{\A\O(-\r,0,-\h);\Pd\O\Qd;\O\Xd}
\iiiDrawlines<sensyu=\empsdottedline>{\O\C\A;\Pd\C\Qd;\C\Xd}
\end{psZahyou*} \begin{zahyou*}[ul=30pt,haiti=t](-3,3)(-6,1)
\teisuuretu<perl>{ch=(\k)*((\qkaku)-(\pkaku))/2;Pdkaku=-90-(\ch);Qdkaku=-90+(\ch)}
\rtenretu<perl>{[$\text{P}'$]Pd(\l,\Pdkaku)w;[$\text{Q}'$]Qd(\l,\Qdkaku)e;P((\p)*(\l),\Pdkaku)w;Q((\q)*(\l),\Qdkaku)e;[]Xd(\l,(\Pdkaku)+(\k)*((\t)-(\pkaku)))s}
\Enko\O\l\Pdkaku\Qdkaku
\LandL\O\Xd\P\Q\X
\tenretu**{O[n];X[se];[$\text{X}'$]Xd[s]}
\Drawlines{\Pd\O\Qd;\P\Q;\O\Xd}
\HenKo<henkoH=3.8ex>\O\Pd{$l$}
\HenKo\O\P{$pl$}
\HenKo\Q\O{$ql$}
\HenKo<henkoH=2.2ex,henkosep=0pt>\Pd\Xd{\footnotesize $r(t- \alpha )$}
\HenKo<henkoH=3ex,henkosep=0pt>\Xd\Qd{\footnotesize $r( \beta -t)$}
\end{zahyou*}
$\sankaku{OPX} + \sankaku{OQX} = \sankaku{OPQ} より、$
$\begin{caprm}
\teisei[r]{\bunsuu{1}{2}} p \teisei[r]{l} OX \sin \bunsuu{r(t- \alpha )}{l} + \teisei[r]{\bunsuu{1}{2}} q \teisei[r]{l} OX \sin \bunsuu{r( \beta -t)}{l} = \teisei[r]{\bunsuu{1}{2}} pq l^{\teisei[r]{\scriptstyle 2}} \sin \bunsuu{r( \beta - \alpha )}{l}
\end{caprm}$
$\begin{caprm}
OX \{ p \sin k(t- \alpha )+q \sin k( \beta -t) \} =pql \sin k( \beta - \alpha )
\end{caprm}$
$\begin{caprm}
∴OX= \bunsuu{pql \sin k( \beta - \alpha )}{p \sin k(t- \alpha )+q \sin k( \beta -t)}
\end{caprm}$
$\begin{caprm}
\hphantom{∴OX} = \bunsuu{l \sin k( \beta - \alpha )}{\bunsuu{1}{q} \sin k(t- \alpha )+ \bunsuu{1}{p} \sin k( \beta -t)}
\end{caprm}$
$\begin{caprm}
∴ \bunsuu{OX \hphantom{'}}{OX'} = \bunsuu{\sin k( \beta - \alpha )}{\bunsuu{1}{q} \sin k(t- \alpha )+ \bunsuu{1}{p} \sin k( \beta -t)}
\end{caprm}$
$∴ \Retube{x}{y}{z} = \bekutoru{OX}$
$\begin{caprm}
\hphantom{∴ \Retube{x}{y}{z}} = \bunsuu{OX \hphantom{'}}{OX'} \bekutoru{$OX'$}
\end{caprm}$
$\hphantom{∴ \Retube{x}{y}{z}} = \bunsuu{\sin k( \beta - \alpha )}{\bunsuu{1}{q} \sin k(t- \alpha )+ \bunsuu{1}{p} \sin k( \beta -t)} \Retube{r \cos t}{r \sin t}{-h} ■$
$\\$
\teisuuretu{l=6;r=1;pkaku=0;p=1;q=0.5}
\teisuuretu<perl>{a=(\r)+1;h=sqrt((\l)**2-(\r)**2);k=(\r)/(\l)}
\begin{edaenumerate}[(1)]
\item(200pt) 1周する場合
\def\qkaku{360}
\begin{psZahyou*}[ul=35pt,Ex={(-1,0)},Ey={(0,-0.333333)},haiti=t](-\a,\a)(-\r,\a)(-\h,0)
\setlinewidth{0.3pt}
\iiitenretu{C(0,0,-\h)e;A(\r,0,-\h)w}
\iiictenretu*{Pd(\r,\pkaku,-\h);Qd(\r,\qkaku,-\h)}
%底面
\iiiParamC<mint=0,maxt=\Pie>\cxT\cyT{-\h}
\iiiParamC<mint=-\Pie,maxt=0,dash={1pt,2pt}>\cxT\cyT{-\h}
%点P,Q
\iiiBunten\O\Pd\p*\P
\iiiBunten\O\Qd\q*\Q
%最短ルート
\DegRad\pkaku\pkaku
\DegRad\qkaku\qkaku
\iiiParamC<mint=\pkaku,maxt=\Pie>\xT\yT\zT
\iiiParamC<mint=\Pie,maxt=\qkaku,dash={1pt,2pt}>\xT\yT\zT
%
\iiiKuromaru[1pt]{\C\A\Q}
\iiitenretu**{O[n]}
\iiiDrawline{\A\O(-\r,0,-\h)}
\iiiempsDottedline{\O\C\A}
\end{psZahyou*}
\item 2周する場合
\def\qkaku{720}
\begin{psZahyou*}[ul=35pt,Ex={(-1,0)},Ey={(0,-0.333333)},haiti=t](-\a,\a)(-\r,\a)(-\h,0)
\setlinewidth{0.3pt}
\iiitenretu{C(0,0,-\h)e;A(\r,0,-\h)w}
\iiictenretu*{Pd(\r,\pkaku,-\h);Qd(\r,\qkaku,-\h)}
%底面
\iiiParamC<mint=0,maxt=\Pie>\cxT\cyT{-\h}
\iiiParamC<mint=-\Pie,maxt=0,dash={1pt,2pt}>\cxT\cyT{-\h}
%点P,Q
\iiiBunten\O\Pd\p*\P
\iiiBunten\O\Qd\q*\Q
%最短ルート
\DegRad\pkaku\pkaku
\DegRad\qkaku\qkaku
\iiiParamC<mint=\pkaku,maxt=\Pie>\xT\yT\zT
\iiiParamC<mint=\Pie,maxt=\Pii,dash={1pt,2pt}>\xT\yT\zT
\iiiParamC<mint=\Pii,maxt=3*($pi)>\xT\yT\zT
\iiiParamC<mint=3*($pi),maxt=\qkaku,dash={1pt,2pt}>\xT\yT\zT
%
\iiiKuromaru[1pt]{\C\A\Q}
\iiitenretu**{O[n]}
\iiiDrawline{\A\O(-\r,0,-\h)}
\iiiempsDottedline{\O\C\A}
\end{psZahyou*}
\end{edaenumerate}
\end{document}
▼関連発言
│
└◆956:円錐側面上の最短経路の一般化 [st] 11/10 18:14
└◆957:Re:円錐側面上の最短経路の一般化 [田中徹] 11/10 23:16
└◆958:Re[2]:円錐側面上の最短経路の一般化 [st] 11/12 02:43<-last