別解です。

\documentclass[a4j]{jarticle}
\usepackage[dvipdfmx]{EMpIIeframed}
\begin{document}
\EMpIIefbox<backgroundcolor=yellow,framecolor=green,oval=6pt,framethickness=1pt,hvsep=6pt>{\EMpIIefbox <oval=4pt,backgroundcolor=white>{
\begin{minipage}{50mm}
ミニページ領域．ミニページ領域．
\end{minipage}
}}
\vspace{1em}\\
%
\EMpIIefbox<framecolor=blue,framethickness=2pt,oval=6pt>{
\begin{minipage}{30mm}
%\EMpIIefbox{内側にミニページ．はみ出してしまいました．} 
\begin{EMpIIeframed}
内側にミニページ．はみ出してしまいました．
\end{EMpIIeframed}
\end{minipage}
}
\end{document}

▼関連発言
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└◆8861:EMpIIefboxをminipage環境内からはみ出さないようにする方法は？.. [kd] 05/17 18:04
　├◆8862:Re:EMpIIefboxをminipage環境内からはみ出さないようにする方... [tDB] 05/17 18:48
　│└◆8863:Re[2]:EMpIIefboxをminipage環境内からはみ出さないようにす.. [tDB] 05/17 18:51
　│　└◆8865:Re[3]:EMpIIefboxをminipage環境内からはみ出さないように.. [kd] 05/18 17:36
　│　　└◆8866:Re[4]:EMpIIefboxをminipage環境内からはみ出さないよう.. [tDB] 05/18 18:04
　│　　　└◆8867:Re[5]:EMpIIefboxをminipage環境内からはみ出さないよ.. [kd] 05/20 18:32<-last
　└◆8864:Re:EMpIIefboxをminipage環境内からはみ出さないようにする方... [田中徹] 05/17 20:01