今年度は 2年生を担当しております。

模擬試験の過去問題の研究をしていたら
思わず美しい結果にブチあたり
この感動を皆様に...(アドレナリンが..)

私は前半部で満足していたのですが
後半部の式変形は同僚(年上)がスラスラと変形し
少しショックでした。
(曰く高校時代はこんな式変形ばかりしていたそうです)

もし、どこかで既出でしたら
書籍名などお知らせいただければ幸いです。

\documentclass[b5j,fleqn]{jarticle}

\usepackage[papersize]{emathP}
\usepackage{emathMw}
\usepackage{itembbox}

\pagestyle{empty}

\setlength{\paperwidth}{182mm}
\setlength{\paperheight}{257mm}
\setlength{\textwidth}{\paperwidth}
\addtolength{\textwidth}{-22mm}
\setlength{\textheight}{\paperheight}
\addtolength{\textheight}{-30mm}

\setlength{\leftmargin}{0mm}
\setlength{\oddsidemargin}{-12mm}
\setlength{\topmargin}{-10mm}
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\setlength{\parindent}{0zw}


\abovedisplayskip=0mm
\belowdisplayskip=0mm

%%%%%%%%%%%%% Local macro %%%%%%%%%%%%%%
\def\Dfrac#1#2{\displaystyle{\frac{\raisebox{-1mm}{$\,#1\,$}}{\raisebox{1mm}{$\,#2\,$}}}} 
\def\Par#1{\left(#1\right)}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{document}
\caprm%
\begin{itemtbsquarebox}<l>[r]{\textbf{問題}}{{\small{}進研模試 {2004}年度 11月 }\textbf{改}}%
鋭角三角形 $ABC$ の面積を $\mathit{S}$ とする。%
この三角形の各頂点から対辺に下ろした%
垂線の足を頂点とする三角形の面積を $\mathit{S}$ を用いて表せ。
\end{itemtbsquarebox}%

\noindent{}【解】

\begin{mawarikomi}{}%
{
\begin{zahyou*}[ul=8mm,Yohaku=4mm](0,6)(0,4){}%
\def\A{(0,0)}%
\def\B{(6,0)}%
\def\C{(2,4)}%
\Put\A[w]{A}%
\Put\B[e]{B}%
\Put\C[n]{C}%
\Takakkei{\A\B\C}%
\Suisen\A\B\C\Ha%
\Suisen\B\C\A\Hb%
\Suisen\C\A\B\Hc%
\Hasen{\A\Ha}%
\Hasen{\B\Hb}%
\Hasen{\C\Hc}%
\Put\Ha[ne]{$H_{1}$}%
\Put\Hb[nw]{$H_{2}$}%
\Put\Hc[s]{$H_{3}$}%
{%
\Thicklines%
\Takakkei{\Ha\Hb\Hc}%
}%
\end{zahyou*}%
}
\begin{align*}{}%
\text{まず、}\sankaku{$AH_{3}H_{2}$}&=\mathit{S}\times{}\Dfrac{AH_{3}}{AB}\times{}\Dfrac{AH_{2}}{AC}\\
&=\mathit{S}\times{}\Dfrac{AC\,\cos{\mathit{A}}}{AB}\times{}\Dfrac{AB\,\cos{\mathit{A}}}{AC}\\
&=\mathit{S}\,\cos^{2}{\mathit{A}}\\[0.5\baselineskip]
\text{同様に}\sankaku{$BH_{1}H_{3}$}&=\mathit{S}\,\cos^{2}{\mathit{B}}\\
\sankaku{$CH_{2}H_{1}$}&=\mathit{S}\,\cos^{2}{\mathit{C}}\\[0.5\baselineskip]
\text{したがって}\sankaku{$H_{1}H_{2}H_{3}$}&=%
\sankaku{ABC}-\Par{\sankaku{$AH_{3}H_{2}$}+\sankaku{$BH_{1}H_{3}$}+\sankaku{$CH_{2}H_{1}$}}\\
&=\bm{\Big\{\,1-\Par{\,\cos^{2}{\mathit{A}}+\cos^{2}{\mathit{B}}+\cos^{2}{\mathit{C}}\,}\Big\}\mathit{S}}
\end{align*}%
\end{mawarikomi}%

ここで次の結果を得る。
\begin{squarebox}{}%
\kaku{A}, \kaku{B}, \kaku{C} が鋭角で $\kaku{A}+\kaku{B}+\kaku{C}=180\Deg$ のとき
\caprm[o]%
\qquad
$\cos^{2}{A}+\cos^{2}{B}+\cos^{2}{C}<1$
\end{squarebox}%
\caprm[o]%
代数的に
\begin{align*}{}%
\cos^{2}{A}+\cos^{2}{B}+\cos^{2}{C}&=%
\Dfrac{1+\cos{2A}}{2}+\Dfrac{1+\cos{2B}}{2}+\Dfrac{1+\cos{2C}}{2}\\
&=\Dfrac{3}{2}+\Dfrac{1}{2}\Big\{2\cos{\Par{A+B}}\cos{\Par{A-B}}+\cos{2\Par{180\Deg-\Par{A+B}}}\Big\}\\
&=\Dfrac{3}{2}+\Dfrac{1}{2}\Big\{2\cos{\Par{A+B}}\cos{\Par{A-B}}+\cos{2\Par{A+B}}\Big\}\\
&=\Dfrac{3}{2}+\Dfrac{1}{2}\Big\{2\cos{\Par{A+B}}\cos{\Par{A-B}}+2\cos^{2}{\Par{A+B}}-1\Big\}\\
&=1+\Dfrac{1}{2}\Big\{2\cos{\Par{A+B}}\cos{\Par{A-B}}+2\cos^{2}{\Par{A+B}}\Big\}\\
&=1+\Dfrac{1}{2}\Big\{2\cos{\Par{A+B}}\big\{\cos{\Par{A-B}}+\cos{\Par{A+B}}\big\}\Big\}\\
&=1+\Dfrac{1}{2}\Big\{2\cos{\Par{A+B}}\big\{2\cos{A}\cos{B}\big\}\Big\}\\
&=1+2\cos{\Par{A+B}}\cos{A}\cos{B}\\[0.5\baselineskip]
&=\bm{1-2\cos{A}\cos{B}\cos{C}}
\end{align*}%

改めて\Kakko{驚くべき$!$}次の結果が得られた。

\begin{squarebox}{}%
$
\caprm%
\sankaku{$H_{1}H_{2}H_{3}=\sankaku{$ABC$}\times{}\caprm[o]\relax{}2\cos{A}\cos{B}\cos{C}$}
$
\end{squarebox}%

\end{document}

▼関連発言
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　└◆125:垂足三角形 [tDB] 10/31 20:36
　　├◆126:Re:垂足三角形 [田中徹] 10/31 23:01
　　└◆127:Re:垂足三角形 [tDB] 11/01 09:46<-last