> ありがとうございます。定義域が間違っていました。計算しなおすと
> r = ±sqrt( (4*sin(T)-cos(T)) / (sin(T)**3-cos(T)**3) )
> の定義域は、π/4 < T ≦ π+α、ただし α=arctan(1/4) と思うのですが合ってるでしょうか？

私もそのように思います。
が，

> T →π/4 のときに r →±∞ になるので、区間の左端を $pi/4+0.001 として
> 区間の右端を求めて次のように描くとエラーになりました。よろしくお願いします。

近似計算の面倒なところです。

> \def\At{X-X**3/3+X**5/5}
>   \funcval\At{0.25}\aval

arctan(1/4) の計算としては，誤差が大きいでしょうか。
結果は
    0.244987
一方，perl の逆三角関数 atan2 を用いた結果は
    0.244979
もっともこれでもエラーが出ます。
丸め誤差恐るべし。

この値に対して，\Fx の根号の中を計算すると0ではなく
   -0.000002
となってしまいます。
そこで
    \calcval{atan2(1,4)}\aval
ではなく
    \calcval{atan2(1,4)-0.000001}\aval
としてやることで回避します。

%----------------------------------------------
\documentclass{jarticle}
\usepackage{emathPp}

\begin{document}
  \begin{zahyou}[ul=5mm](-8,8)(-8,8)
  \calcval{atan2(1,4)-0.000001}\aval
  \def\Ft{sqrt((4*sin(T)-cos(T))/((sin(T)-cos(T))*(1+sin(T)*cos(T))))}
  \RGurafu(.001)\Ft{$pi/4+0.001}{$pi+\aval}
  \RGurafu(.001){-\Ft}{$pi/4+0.001}{$pi+\aval}
  \Hasen{(\xmin,\xmin)(\xmax,\xmax)}
  \end{zahyou}%
\end{document}

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